концов рычага, на которые действуют параллельные силы, суть весьма малые
дуги,  описанные  концами  рычага  как  радиуса   из   точки   опоры   и
соответствующие общему углу отклонения рычага. Эти дуги  пропорциональны
плечам и проходятся в  противоположные  стороны.  Чтобы  работы  сил  на
протяжении этих дуг, служащих возможными перемещениями, в  сумме  давали
нуль, необходимо, чтобы силы были обратно пропорциональны  плечам.  Этот
пример представляет собою  вывод  законов  рычага  из  начала  возможных
перемещений, Лагранж применяет это начало к потерянным силам для всякого
случая движения и для всякой системы точек.  Выразив,  что  сумма  работ
потерянных сил на протяжении возможных перемещении равна  нулю,  Лагранж
получил общее  уравнение  движения:  где  dx,  dy,  dz  суть  проложения
возможных перемещении на оси координат. Из этой  общей  формулы  Лагранж
выводит систему уравнений, данную им в двух формах, которые, как и общая
формула, содержать в себе дифференциалы. Решение  всякого  механического
вопроса заключается  после  этого  в  освобождении  формул  Лагранжа  от
дифференциалов, т. е.  в  интегрировании  лагранжевых  уравнений.  Общий
способ их интегрирования был исследован  самим  Лагранжем,  Гaмильтoнoм,
Пуассоном, Коши, Якоби, Мейером, Остроградским, Коркиным,  Имшенецким  и
многими другими. В настоящее время в  особенности  замечательны  в  этом
направлены работы Софуса-Ли и Фукса.
   Из основных законов М. или из общих  уравнений  Лагранжа  могут  быть
выведены некоторые весьма  общие  положения,  которые  в  прежнее  время
принимались за основные начала, но после Лагранжа служат более  к  тому,
что прямо дают некоторые интегралы уравнений М. Эти положения  суть:  1)
начало движения центра инерции,  состоящее  в  следующем:  при  движении
системы материальных  точек  существует  определяемая  их  конфигурацией
геометрическая точка, называемая центром инерции,  движение  этой  точки
происходит так, как будто  бы  она  была  свободною  точкою,  в  которой
сосредоточена масса всей системы и к которой  приложены  заданные  силы.
Если точки тяжелые, то их центр инерции есть в  то  же  время  их  общий
центр тяжести. Начало движения центра инерции  проявляется,  напр.,  при
разрыве летящей гранаты, осколки которой разбрасываются во все  стороны,
но общий их центр тяжести описывает  тот  самый  путь,  который  был  бы
описан центром тяжести гранаты, если  бы  она  не  лопнула.  Это  начало
выражается уравнениями:
   которые легко интегрируются. В них М - масса всей системы,  различные
m - массы точек; x, y, z координаты центра инерции.  2)  Закон  площадей
применим ко всем тем случаям, когда в каждом положении системы  возможно
всякое ее вращение около неподвижного начала  координат  О.  Этот  закон
состоит в том, что: сумма произведений масс на проложения (на  плоскости
координат)  площадей,  описываемых  радиусами-векторами  точек  системы,
возрастает пропорционально времени.  Под  именем  радиуса-вектора  точки
разумеется прямая, соединяющая ее  с  О.  Из  наблюдений  над  движением
планет  Кеплер  (1571-1630)  подметил  существование  этого   закона   в
следующей форме: радиус-вектор, проведенный из центра  солнца  к  центру
планеты, описывает  в  равные  промежутки  времени  равные  между  собою
площади. В таком приложении к  планетам  положение  это  носит  название
второго кеплеровского закона. 3) Начало наименьшего действия  состоит  в
следующем: вообразим те из возможных для системы между ее двумя  данными
положениями движения, при которых:
   где  Р  есть  некоторая  функция  от  координат  точек   системы,   h
постоянное; из всех таких движений только для тех из них интеграл  будет
наименьшим,  для  которых  Р  есть  потенциал.  Потенциалом   называется
функция, имеющая то свойство, что первые ее производные  по  координатам
равны суммам проложений на соответственные оси координат  заданных  сил,
так что:
   Не все силы имеют потенциал. Начало наименьшего действия применимо во
всех тех случаях, когда уравнения связей не содержат времени  t,  т.  е.
когда связи не изменяют своей формы. 4)  Закон  сохранения  живой  силы.
Живою силою точки  называется  половина  произведения  из  ее  массы  на
квадрат скорости, т. е. величина .
   Живою  силою  системы  называется  сумма  живых   сил   всех   точек,
составляющих систему. Во всех тех случаях,  когда  уравнения  связей  не
содержать  времени,  действует  закон  живой   силы,   заключающийся   в
следующем: если связи не зависят от времени, силы же имеют потенциал, то
разность между силою и потенциалом сохраняет постоянную  величину.  Этот
закон выражается формулою:
   показывающею,  что  в  случае   возможности   применить   закон,   ею
выражаемый, приращение живой силы зависит только от координат начального
и конечного положения и будет то же самое, по какому бы  пути  точка  не
переходила из первого положения во второе. Если же  система  вернется  в
начальное положение, то  живая  сила  получит  начальную  величину.  Это
начало может быть выражено еще и в  следующей  форме:  приращение  живой
силы при переходе системы из одного положения в другое равно сумме работ
всех действующих на систему сил. Этому способу  выражения  начала  живых
сил соответствует формула:
   где v и v0 скорости во втором и в первом положении, F силы,  a  углы,
ими составляемые, с направлениями движения  точек,  ds  элементы  путей,
проходимых точками. Углубляясь в смысл уравнений М. и закона живых сил и
исследуя соотношения, существующие между теплом, светом,  электричеством
и другими явлениями природы, Гельмгольц  открыл  управляющий  ими  общий
закон сохранения энергии и изложил его  в  1847  г.  в  сочинении:  "Die
Erhaltung der Kraft".
   Аналитическую М. теперь уже не разделяют на  статику  и  динамику,  а
дают ей подразделение на  кинематику,  изучающую  движение,  не  касаясь
производящих его сил, и кинетику, изучающую движение  в  зависимости  от
производящих его сил. Равновесие изучается как частный случай  движения.
Учение о движении жидких тел называется  гидродинамикой.  Интегрирование
общих уравнений гидродинамики  представляет  до  сих  пор  непреодолимые
затруднения;  поэтому  прибегают  к  косвенным   способам.   Наибольшими
успехами   гидродинамики,   со   времен   Лагранжа   являются   открытие
Гельмгольцем  вихревых  движений,  выражаемых   некоторыми   уравнениями
гидродинамики и особый  искусственный  способ  Кирхгофа,  основанный  на
конформном преобразовании мнимого переменного и весьма удачно обобщенный
проф.  Н.  Е.  Жуковским.  Не  менее  важные  главы   аналитической   М.
представляют собою теория упругости и теория притяжения. До сих  пор  мы
еще очень далеки от умения интегрировать уравнения  М.;  поэтому  весьма
часто   приходится   довольствоваться   небольшим   числом   интегралов,
доставляемых началами центра, инерции, живых сил и  площадей.  Некоторые
задачи при знании только немногих интегралов,  движения  решены  тем  не