степеней и таких, что коэффициенты каждого следующего уравнения  зависят
от корней предыдущих, всегда можно этот ряд  уравнений  заменить  одним,
более высокой степени с целыми коэффициентами, а потому число p было  бы
корнем  алгебраического  уравнения,  что  невозможно.  Из   рассмотрения
формулы . R ясно, что К. круга была бы  найдена,  если  и  помимо  чисто
геометрического построения удалось бы точно  выразить  длину  окружности
круга в частях радиуса или просто найти число, точно выражающее величину
p. Соответственно этим разным постановкам вопроса, в  истории  изысканий
К. круга встречаются - то чисто  геометрические  при„мы  построений,  то
попытки вычисления величины p. Уже у  египетских  математиков  находятся
первые решения  задачи,  как  построить  квадрат,  равновеликий  данному
кругу, или определить соотношение между окружностью и  е„  диаметром.  В
британском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000  лет
до Р.  Хр.,  в  котором  автор  называет  сво„  решение  сводом  правил,
известных ещ„ гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликого
площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p  =  3,16).  -  У
древних вавилонян и  евреев  принималось,  что  окружность  ровно  втрое
больше диаметра и следовательно, p=3. - У греков, по словам Платона,  К.
круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании  (V
в. до Р. Хр.). Первая попытка указать "пределы" для числа p была сделана
Бризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна  быть
меньше периметра многоугольника, описанного около не„ и больше периметра
вписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался  определить  площадь
круга при помощи так наз. "луночек". Динострат  спрямил  окружность  при
помощи  построения  особой  кривой  "квадратриссы".  Замечательно,   что
знаменитый Евклид в своих "Элементах" геометрии совершенно не  упоминает
о К. круга и  рассматривает  только  отношение  площадей  кругов  разных
радиусов. Совершенно самостоятельно  и  независимо  от  предшественников
взглянул на эту  задачу  Архимед.  Он  вычислил  периметры  вписанных  и
описанных 96-ти угольников и показал, что величина p  заключается  между
пределами 31/7 и 310/71; число  31/7=  22/7  и  до  сих  пор  во  многих
практических   вопросах   считается   весьма   удобным   и   достаточным
приближением  для  p.   Достойно   удивления,   что   свои   сложные   и
продолжительные вычисления  Архимед  производил  во  времена,  когда  не
употреблялась ещ„ арабская система счисления. Птолемей дал для  p  число
317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление,  будучи
найдено позднее более простого числа Архимеда.  В  Кулвазутрасе,  весьма
древнем математическом  сочинении  индусов,  находится  решение  задачи,
обратной К. круга: построить круг,  равновеликий  данному  квадрату;  по
этому решению радиус искомого круга  равен  половине  стороны  квадрата,
увеличенной на треть разности  между  половиной  диагонали  и  половиной
стороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р.  Хр.)  вычислил  p  =
3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея,  так
как вычислитель, следуя  методу  Архимеда,  дош„л  до  384-х  угольника.
Другой индийский математик Браматупта (VII в.) наш„л, что ;  это  число,
как связанное с десятичной системой счисления,  долгое  время  считалось
лучшим приближением и  неизменно  употреблялось  потом  всеми  арабскими
математиками. В китайских книгах найдена величина  p  =  37/50,  которая
менее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания  К.  круга  начались
лишь с XV в. Кардинал Николай Куза наш„л следующее решение:  по  данному
кругу должно построить другой, диаметр которого  равен  радиусу  данного
круга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанного
во второй круг равностороннего  треугольника  равен  окружности  данного
круга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения  Архимеда.
Симон Ван-Эйк в конце XVI в.  обнародовал  сложное  построение,  которое
да„т для p величину,  более  точную,  чем  приближение  Архимеда.  Чтобы
доказать  неверность  этого  построения,  другой  голландский  математик
Адриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной  чем  22/7.
Таким образом ошибочное построение  Ван-Эйка  было  поводом  к  открытию
знаменитой и легко  запоминаемой  дроби  355/113,  которая  представляет
отношение окружности к диаметру  с  точностью  до  0,000001.  Не  лишнее
заметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей  доказано,  что
при употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие  числа  не
могут представить величину p точнее, чем  отношение  355:113,  найденное
Мециусом. Неутомимый  вычислитель  Романус,  применяя  способ  Архимеда,
дош„л до многоугольников о 1073741824  сторонах,  т.  е.  числа  сторон,
равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзош„л его и для  p  дал  число  с
35-ю десятичными знаками. Это число, названное "лудольфовым", равно:
   3,14159265358979323846264338327960288.
   Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие  возможность,
рассматривая  многоугольники   с   меньшим   числом   сторон,   находить
приближения для p гораздо скорее и с большим числом  десятичных  знаков.
Однако, вычислительные при„мы сделались ещ„ проще с  тех  пор,  как  для
величины  p  начали  открывать  формулы,  составленные  из  бесконечного
повторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать  такие
формулы принадлежит Виету; он дал ряд

   по которому и вычислил сам  величину  p  до  4-х  десятичных  знаков.
Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори,  и,  независимо
от него Лейбниц открыли ряд:

   Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий  как  частный  случай,
есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус
равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:

   где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45ё.  Выбрав
а,  b,  с....  малыми,  л„гкими   для   обработки   и   удовлетворяющими
поставленному условию  углами,  получаются  вообще  весьма  удобные  для
вычисления ряды. По этому способу  лондонский  проф.  Мехин  в  1706  г.
вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
   и , т. е. употребил ряд:

   До  сих  пор  это  лучшая  и  удобнейшая  формула  для  приближенного
вычисления p. Тем не менее открывают и  новые  ряды,  так  лорд  Брункер
представил p в виде непрерывной дроби:

   Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p,
открыты знаменитым Эйлером, например:

   По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину