ВЕРСИЙ ПО СУТИ ДЕЛА ОДНОГО И ТОГО ЖЕ БОЛЕЕ КОРОТКОГО СПИСКА.

     ХРОНОЛОГИЯ АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ НУЖДАЕТСЯ В ПЕРЕСМОТРЕ.

                  2. 11. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ МЕТОДА
     Метод   гистограмм   частот   разнесений   связанных    имен
оказывается  ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО  ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ  К  НАЛИЧИЮ  В  СПИСКЕ
СТРУКТУРЫ ДУБЛИКАТОВ.

     Выше  было  показано, что  для  списков, в  которых  такой
структуры НЕТ, гистограммы вида f (x), f (x) с большой  точностью
                                 2      3
должны совпадать с графиком линейной функции. Следовательно, если
мы начнем случайно возмущать список (разрушая тем самым структуру
дубликатов в нем), то  гистограммы  частот  разнесений  связанных
имен должны по мере  этого  возмущения  приближаться  к  линейной
функции.

     Это действительно так.

     Более того, оказывается, что  это ``выпрямление'' гистограмм
частот f (x) и f (x) происходит ОЧЕНЬ БЫСТРО.

        2       3
     Это  значит, что  структура  дубликатов  в  списке -- вещь
достаточно ``тонкая'' и при случайном возмущении списка она  быстро
разрушается, исчезает.

     СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ТО ОБСТОЯТЕЛЬСТВО, ЧТО МЫ ВСЕ ЖЕ ОБНАРУЖИВАЕМ
ТАКУЮ СТРУКТУРУ В  БОЛЬШОМ  КОЛИЧЕСТВЕ  РЕАЛЬНЫХ  ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ
СПИСКОВ, ОТНЮДЬ НЕ ТРИВИАЛЬНО. СЛУЧАЙНО ОНО ВОЗНИКНУТЬ НЕ МОГЛО.

     Мы воспользуемся примером списка имен АРМЯНСКИХ  КАТОЛИКОСОВ
для  того, чтобы  показать, как  меняется   гисторамма   частот
разнесений связанных  имен  при  постепенном  РАЗРУШЕНИИ  системы
дубликатов в списке (остальные хронологические списки имен  ведут
себя  аналогично).

     Обратимся снова к рис. 27. На  нем  помимо  сплошной  кривой
изображена более сглаженная -- пунктирная. Это  гистограмма  f (x)
                                                             2
для (искаженного) списка имен армянских католикосов, в часть глав
которого (30 из 175) было добавлено одно и то же имя.

     Видно, что эта гисторамма СУЩЕСТВЕННО БЛИЖЕ К ПРЯМОЙ  ЛИНИИ,
чем исходная, хотя она и повторяет в точности ее структуру (места
всплесков меньше, чем 2p, по сравнению с  вероятностью
того, что  это   не   так).

     Аналогично, пренебрегая  малыми  вероятностями   перекрытий
связывающих окрестностей (слагаемыми второго порядка), получаем,
что третий экзеипляр имени u_i попадает в связывающую  окрестность
к одному из уже размещенных экземпляров с вероятностью 2(2p/n)  и
т. д. Для i-того экземпляра эта вероятность равно (i-1)2p/n.

     Введем случайные величины \Вh\А_i  (2  \Д<\А  i  \Д<\А  k_i), положив  по
определению  \Вh\А_i=1  если  i-й  экземпляр  имени  u_i  при   своем
размещении попал  в  связывающую  окрестность  к  одному  из  уже
размещенных (i-1) экземпляров этого имени, и \Вh\А_i=0  иначе. Тогда,
согласно приведенным рассуждениям,

                 P{\Вh\А_i=1} = (i-1)2p/n, (2 \Д<\А i \Д<\А k_i).

     Заметим теперь, что число ``встреч'' имен u_i в списке  Х  (где
под  встречей  понимается  попадание  пары  имен  в   связывающую
окрестность друг к другу) равняется сумме случайных величин \Вh\А_i:

                             k_i
               l_o(u_i, u_j) = \ВS\А  \Вh\А_i.

                             i=2

Следовательно, математическое ожидание (среднее  значение)  связи
l_0(u_i, u_j) равно

                       k_i        k_i          2p
   M[l_0(u_i, u_j)] = M[ \ВS\А  \Вh\А_i] =  \ВS\А  M[\Вh\А_i] = -- (1+... +(k_i-1))=
                       i=2        i=2           n
       2p  k_i(k_i-1)
     = --  --------Д.

       n      2

     Дело в том, что  математическое  ожидание  суммы  случайных
величин равно сумме их математических ожиданий, а M[\Вh\А_i] = P{\Вh\А_i=1}
= (i-1)2p/n.)

     Лемма доказана.

     СЛЕДСТВИЕ. Среднее  значение  связи  l(u_i, u_j)  двух  имен,
входящих в правильный хронологический список Х, НЕ  ЗАВИСИТ  от
выбора   пары   имен   (u_i, u_j)   и, следовательно, является
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ СПИСКА Х и параметров модели.

     Это  среднее  мы   будем   обозначать   через   \Ва\А(Х). Из
доказательства леммы следует, что \Ва\А(Х) = 2p/n.

     Генеральное (теоретическое) среднее \Ва\А(Х) мы будем называть
СРЕДНИМ ПО РАЗМЕЩЕНИЯМ в отличие от эмпирического  СРЕДНЕГО  ПО
МАТРИЦЕ, получаемого усреднением фактических значений связи пар