имен по всем парам имен, входящих в данный список Х.

     Последнее название объясняется тем, что значения  связи  пар
имен списка естественным образом составляют  некоторую  квадратую
матрицу.

     ЗАМЕЧАНИЕ. Сформулированное выше  предположение  aposteriori
подтверждается для реальных  правильных  хронологических  списков
(летописей) тем, что для  них  ЭМПИРИЧЕСКОЕ  СРЕДНЕЕ  ПО  МАТРИЦЕ
практически совпадает с ГЕНЕРАЛЬНЫМ СРЕДНИМ ПО  РАЗМЕЩЕНИЯМ  \Ва\А(Х)
(вычисленным с  помощью  этого  предположения).

     Если же список содержит дубликаты, то для него, как показали
расчеты, среднее по матрице обычно чуть больше, чем  среднее  по
размещениям.

     Но различие между этими величинами было  НЕВЕЛИКО  для  всех
рассмотренных нами реальных исторических списков. Это -- отражение
того обстоятельства, что даже в том случае, когда хронологический
список имен содержит дубликаты, доля пар-дубликатов среди  общего
количества всех пар определяющих окрестностей, обычно невелика.

     В соответствии с описанной в главе 1  моделью  возникновения
дубликатов в хронологический списках  (см., например, модельную
задачу о колодах  карт), введем  меру  связи  двух  произвольных
определяющих окрестностей \ВД\А_r, \ВД\А_s в списке Х.

     Эта мера отражает  количество ``связывающих  летописей'' для
данной пары отрезков списка, нормированное таким  образом, чтобы
при  отсутствии   дубликатов   в   списке, оно   сохраняло   бы
приблизительно одно и то же значение для  всех  пар  определяющих
окрестностей списка Х.

     Более точно, мера связи  двух  отрезков  списка  подбиралась
таким образом, чтобы в случае правильного списка (который  мы, в
соответствии  со  сделанным  предположением, рассматриваем   как
некоторый  случайный  элемент)  среднее  значение  этой  меры  не
зависело бы от выбора конкретной  пары  отрезков, то есть было  бы
единым для всего списка Х.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  дан  хронологический  список  имен  Х  и
фиксированы  параметры  модели  k  и  p. Назовем   СВЯЗЬЮ   ДВУХ
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ  ОКРЕСТНОСТЕЙ \ВД\А_r и \ВД\А_s списка Х число

                            r+k   s+k
                      c       \     \
   L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s) = --------                l(a_i, a_j).

                   (2k + 1)^2 /     /
                             i=r-k  j=s-k
                                     jЬi

     Здесь c -- постоянная  масштаба, задаваемая  из  соображений
удобства вычислений (мы брали значение c=25).

     ЛЕММА 2. Если хронологический список имен  Х  не  содержит
дубликатов  (является  правильным)  и  выполнены  предположения
Леммы 1, то среднее значение по размещениям для связи L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s)
НЕ ЗАВИСИТ от \ВД\А_r и \ВД\А_s и равно c\Ва\А(Х).

     Доказательство. Утверждение Леммы 2 следует из Леммы 1 и  из
того, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме их
средних значений. Заметим, что число слагаемых в  двойной  сумме,
определяющей значение связи L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s), равно множителю (2k + 1)^2,
стоящему  в  знаменателе. Следовательно, среднее  значение   по
размещениям для связи L_0(\ВД\А_r, \ВД\А_s) равняется  среднему  значению  по
размещениям для связи l(a_i, a_j), умноженному  на  c, то есть равно
c\Ва\А(Х). Лемма 2 доказана.

p3'3'4
          4. ЗАВИСИМОСТЬ СВЯЗИ $L_0$ ОТ ЧИСЛА ОБЩИХ ИМЕН В
                    ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ОКРЕСТНОСТЯХ

     Изучим характер зависимости  между  величиной  связи $L_0$ двух
определяющих окрестностей \ВД\А_r и \ВД\А_s и количеством  общих  имен  в
этих окрестностях (с учетом кратности вхождения  имен  в  \ВД\А_r  и
\ВД\А_s).

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЧИСЛОМ   ОБЩИХ   ИМЕН   двух   определяющих
окрестностей \ВД\А_r(k) и \ВД\А_s(k) в списке  Х  (с  учетом  кратностей)
назовем число:
                    r+k   s+k
                    \     \
       O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) =             \Вд\А(a_i, a_j),
                    /     /
                   i=r-k  j=s-k
где \Вд\А(a_i, a_j)=1 если a_i=a_j (то есть имена  a_i  и  a_j  одинаковы)  и
равно нулю иначе.

     Другими словами, O(\ВД\А_r, \ВД\А_s) -- это  число  пар  из  декартового
произведения \ВД\А_r\Иx\ВД\А_s, таких, что в паре стоят одинаковые имена.

     В  рассмотренных  нами  случаях   реальных   хронологических
списков, описывающих  древнюю  и  средневековую  историю  Европы,
обнаружилось весьма примечательное обстоятельство:
     ЗНАЧЕНИЯ L_0(\ВД\А_R, \ВД\А_S) И  O(\ВД\А_R, \ВД\А_S)  СВЯЗАНЫ  МЕЖДУ  СОБОЙ  ТАКИМ
ОБРАЗОМ, ЧТО   ПРИ   УВЕЛИЧЕНИИ   O(\ВД\А_R, \ВД\А_S)   УВЕЛИЧИВАЕТСЯ   (В
СТАТИСТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ) И L_0(\ВД\А_R, \ВД\А_S).

     Этот вывод был получен на основе сравнения гистограмм частот