ной и устоявшейся научной теории проблемные ситуации осознаются по-другому, чем в теории, которая только складывается и не имеет еще твердых оснований.
   Основы логико-семантического истолкования П. были заложены в работах математика А. Н. Колмогорова (1903-1985), С. К. Клини и др. Согласно Колмогорову, возможна логика, систематизирующая схемы решения задач. Понятия "задача" и "решение задачи" принимаются в качестве исходных; логические задачи истолковываются как операции, позволяющие получать новые задачи из уже имеющихся задач. (А и В) означает задачу: решить обе задачи А и В; (А или В) - решить хотя бы одну из задач A, В; (если А, то В) означает задачу: свести задачу В к задаче A; (не-А) означает задачу: предположив, что дано решение A, прийти к противоречию.
   Одной из форм П. является неразрешимая П.: ее "решением" выступает доказательство ее неразрешимости. Напр., разрешения П. для логики предикатов первого порядка неразрешима: не существует эффективной процедуры, которая позволяла бы для всякой формулы определить, является она теоремой или нет. Доказательство этого факта, данное в 1936 г. амер. логиком А. Чёрчем (р. 1903), дало первый пример неразрешимой П.
   ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗКА
    - операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Если A и В - к.-л. формулы (простые, элементарные или сложные, построенные из элементарных), то из них с помощью П. с. могут строиться новые формулы: А & В, AvB, A-> B, А = В, если А - формула, то ~А - также формула. Символы "&", "v", "->", "=", "~" выражают П. с., которые определяются на семантическом, содержательно-алгоритмическом уровне при помощи таблиц истинности. Эти П. с. соответственно называются: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией, отрицанием. Смысл П. с. в русском языке передается при помощи следующих выражений:
конъюнкция - с помощью союзов "и", "а", "но", "хотя" и др.;
   дизъюнкция (нестрогая) - с помощью выражений: "или", "или, или оба";
   импликация - с помощью выражений "если..., то", "влечет", "следует" (ср.: "Если А, то В", "А влечет В", "Из А следует В");
   эквиваленция - с помощью выражений "эквивалентно", "равносильно", "тогда и только тогда", "если и только если";
отрицание - с помощью выражений "не", "неверно, что".
   ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
    - функция, область значений которой составляют высказывания, обладающие определенным


[290]
истинностным значением. По своей структуре П. ф. сходна с грамматическим предложением, но отличается от последнего наличием переменных, которые пробегают какое-то множество объектов; П. ф. ставит в соответствие этим объектам высказывания.
   Примером П. ф. может служить выражение "х есть простое число". Имея форму грамматического предложения, оно не является высказыванием: о нем нельзя сказать, что оно истинно или ложно, его нельзя доказать или опровергнуть. Из этого выражения в результате замены переменной х некоторым числом получается высказывание. Если вместо переменной подставить число 11, получится истинное высказывание, если 8 - ложное. Несколько более сложным выражением, содержащим переменные и превращающимся при замене этих переменных постоянными в высказывание, является формула x + у = 10.
   Роль переменных в П. ф. можно сравнить с ролью пробелов, оставляемых в опросном бланке: такой бланк приобретает определенное содержание только после заполнения пробелов. Точно так же П.ф. превращается в высказывание лишь после того, как переменные заменены в ней постоянными.
   В обычном языке переменные не встречаются, но есть конструкции, напоминающие их, напр. "кто-то" и "какой-то" служат именами неопределенных людей. Из выражения "Кто-то первым достиг Южного полюса" получается истинное высказывание, если подставить имя "Амундсен", и ложное при подстановке имени "Скотт". Употребление переменных не столь существенно отличается, таким образом, от некоторых конструкций обычного языка.
   Из П. ф. высказывание может быть получено не только путем замены переменных постоянными, но и с помощью кванторов. Так, из выражения "х есть отец у", используя кванторы "все" и "некоторый" ("существует"), можно получить истинное высказывание "Для всякого у существует такой х, что есть отец у" ("Всякий человек имеет отца") или ложное высказывание "Существует х, являющийся отцом всякого у" ("Есть человек, являющийся отцом каждого").
   Термин "П. ф." введен в логику англ. философом и логиком Б. Расселом (1872-1970).
   ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ ЛОГИЧЕСКАЯ
    - вид отношения между противоположными понятиями или суждениями в традиционной логике. В отношении противоположности находятся такие несовместимые понятия, объемы которых включаются в объем более широкого, родового понятия, но не исчерпывают его полностью, напр. "белый - черный", "сладкий - горький", "высокий - низкий" и т. п. Если последнюю пару понятий отнести к людям, то класс "люди"

[291]
можно разбить на три части: "высокие" - "среднего роста" - "низкие". Противоположные понятия "высокий" - "низкий" займут наиболее удаленные друг от друга части объема родового понятия, но не покроют его целиком.
   В отношении противоположности находятся общеутвердительные и общеотрицательные суждения, говорящие об одном и том же классе предметов и об одном и том же свойстве, например: "Всякий человек добр" и "Ни один человек не добр". Такие суждения вместе не могут быть истинными, однако они оба могут оказаться ложными (как это имеет место в приведенном примере).
   ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДИКАТУ
    - вид непосредственного умозаключения, в котором субъектом вывода является понятие, противоречащее предикату посылки, предикатом является субъект посылки, а связка изменяется на противоположную символически:
S есть Р.
не-Р не есть S.
   П. п. представляет собой соединение превращения с обращением, поэтому при его выполнении следует сначала произвести превращение посылки, а затем обратить получившееся суждение: превращаем "S есть Р", получаем "S не есть не-Р", затем обращаем последнее суждение и приходим к выводу "не-Р не есть S". Затруднения здесь носят чисто грамматический характер. Чтобы избежать их, следует формулировать связку в явном виде и фиксировать отрицания. Из общеутвердительного суждения следует общеотрицательный вывод; из общеотрицательного суждения следует частноутвердительный вывод; из частноотрицательного суждения следует частноутвердительный вывод; из частноутвердительного суждения нельзя получить вывод путем П. п.
   ПРОТИВОРЕЧИЕ
    - два высказывания, из которых одно является отрицанием другого. Напр.: "Латунь - химический элемент" и "Латунь не является химическим элементом", "2 - простое число" и "2 не является простым числом". В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом это же самое отрицается, причем утверждение и отрицание касаются одного и того же объекта, взятого в одно и то же время и рассматриваемого в одном и том же отношении.
   П. является одним из центральных понятий логики. Поскольку слово "П." многозначно, пару отрицающих друг друга высказываний называют иногда "логическим П." или абсурдом.
   П. недопустимо в строгом рассуждении, когда оно смешивает истину с ложью. Но у П. в обычном языке много разных задач. Оно

[292]
   может выступать в качестве основы сюжета, быть средством достижения особой художественной выразительности, комического эффекта и т. д. Реальное мышление - и тем более художественное мышление - не сводится к одной логичности. В нем важны ясность и неясность, доказательность и зыбкость, точное определение и чувственный образ и т. д., может оказаться нужным даже П., если оно стоит на своем месте.
[293]

Р
   РАВЕНСТВО
    - отношение между знаковыми выражениями, обозначающими один и тот же объект, когда все, что можно высказать на языке соответствующей теории об одном из них, можно высказать и о другом, и наоборот, и при этом получать истинные высказывания. Обозначаемые объекты могут быть построены различным способом, напр., один объект может быть представлен как "3•5", а другой как "20-5", но между ними может быть поставлен знак Р.
   Отношение Р позволяет заменять одни и те же объекты, построенные различным образом, друг на друга в различных контекстах (правило подстановочности). Выражения (формулы), содержащие предикат Р., могут содержать переменные, или параметры. Если такая формула является истинной при всех значениях переменных (параметров), то отношение Р называют тождеством. Если же она является истинной лишь при некоторых значениях, то ее называют уравнением. Отношение Р обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности.
   РАВНОЗНАЧНОСТЬ (равносильность, эквивалентность)
    - отношение между высказываниями или формулами, когда они принимают одни и те же истинностные значения. Напр., при любых значениях элементарных высказываний формулы (A v B) и (B v A), (A v (A & В)) и A принимают одни и те же значения, т. е. если одна из них истинна, то и другая истинна, если одна из них ложна, то и другая также ложна. Если два высказывания A и В равнозначны, то формулы А -> В и B -> А будут тождественно истинными.
   РАВНООБЪЕМНОСТЬ
    - отношение между понятиями, объемы которых совпадают. Напр., понятия "луна" и "естественный спутник Земли" совпадают по своему объему, в который входит только один


[294]
предмет; понятия "человек" и "разумное существо, владеющее членораздельной речью" равны по своему объему, т. к. обозначают один и тот же класс - людей.
   РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ СУЖДЕНИЕ
    - дизъюнктивное (от лат. disjunctio - разобщаю) сложное суждение, образованное из двух или большего числа суждений с помощью логической связки "или". Общая форма Р. с. имеет вид А1 v A2 v, ..., v An, где Аn - суждение (член дизъюнкции, альтернатива), a v - знак дизъюнкции. Существуют два вида Р. с.: строго разделительные и нестрого разделительные. В строго разделительных суждениях связка "или", "либо" употребляется в строго разделительном смысле (см.: Дизъюнкция), т. е. когда члены дизъюнкции (альтернативы) в двучленном суждении A1 v A2 несовместимы (одно из них является истинным, а другое - ложным). Таково суждение: "Этот человек является виновным (A1) либо этот человек не является виновным (А2)". Естественно, что данный человек не может быть одновременно виновным и невиновным, имеет место лишь одна из альтернатив. В нестрого разделительных суждениях (см.: Дизъюнкция) альтернативы не являются несовместимыми. Таково суждение "Этот ученик является способным или он является прилежным". В этом суждении не исключается, что ученик может быть одновременно способным и прилежным.
   Р. с. в обычном языке формулируются чаще всего в сокращенной форме и имеют, напр., вид: "S есть Р1 или P2 или "Р1 или P2 принадлежит S". Так, суждение "Данный треугольник прямоугольный или непрямоугольный" означает Р. с. "Данный треугольник прямоугольный или данный треугольник непрямоугольный" Связка "либо" вместо связки "или" используется обычно в строго разделительных суждениях.
   РАЗДЕЛИТЕЛЬНО-КАТЕГОРИЧЕСКОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
    -умозаключение, в котором одна из посылок - разделительное суждение, а другая - категорическое. Р.-к. у. имеет два модуса: 1) модус утверждающе-отрицающий; 2) модус отрицающе-утверждающий. Простейшая форма модуса (1) имеет вид: S есть Р1 или P2 (первая посылка); S есть Р1 (вторая посылка); S не есть P2 (заключение). Такую форму имеет, напр., следующее умозаключение: "Жидкие коллоидные системы бывают эмульсиями либо золями. Данная жидкая коллоидная система является эмульсией. Данная жидкая коллоидная система не является золем". В таком умозаключении для обеспечения его правильности в разделительной посылке союз "или" ("либо") должен употребляться в строго разделительном смысле (см.: Дизъюнкция).

[295]
   Простейшая форма модуса (2) имеет вид: S есть Р1 или P2, S не есть Р1; следовательно, S есть Р2. Пример:
Организмы бывают одноклеточными или многоклеточными.
Данный организм не является одноклеточным.
Данный организм является многоклеточным.
   В таком умозаключении для обеспечения его правильности в первой посылке должны быть перечислены все члены дизъюнкции (альтернативы).
РАЗДЕЛИТЕЛЬНО-УСЛОВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, см.: Дилемма.
РАЗРЕШАЮЩАЯ ПРОЦЕДУРА, см.: Разрешения проблема.
   РАЗРЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМА, или: Разрешимости проблема,
    - проблема нахождения для данной дедуктивной теории общего метода, позволяющего решать, может ли отдельное утверждение, сформулированное в терминах теории, быть доказано в ней или нет. Этот общий метод, являющийся эффективной процедурой (алгоритмом), называется процедурой разрешения или разрешающей процедурой, а теория, для которой такая процедура существует, - разрешимой теорией.
   Р. п. решается в классической логике высказываний с помощью таблиц истинности. Разрешающий алгоритм существует и для логики одноместных предикатов, для силлогизма категорического и других простых дедуктивных теорий. Но уже для логики предикатов общего решения Р. п. не существует. В математике также невозможно установить общий метод, который дал бы возможность провести различие между утверждениями, которые могут быть доказаны в ней, и теми, которые в ней недоказуемы.
   Невозможность найти для теории общий разрешающий метод не исключает поиска процедуры разрешения для отдельных классов ее
утверждений.
   РАЗРЕШИМАЯ ТЕОРИЯ
    - теория, для которой существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая о каждом утверждении, сформулированном в терминах этой теории, решить, выводимо оно в теории или нет (см.: Разрешения проблема).
   Р. т. являются, напр., элементарная алгебра Буля, теория сложения целых чисел и некоторые иные простые математические теории. Неразрешима арифметика целых чисел (т. е. теория четырех главных арифметических действий над целыми числами) и каждая дедуктивная теория, содержащая арифметику.
   РАЦИОНАЛЬНОСТЬ (от лат. ratio - разум)
    - относящееся к разуму, обоснованность разумом, доступное разумному пониманию, в


[296]
противоположность иррациональности как чему-то неразумному, недоступному разумному пониманию.
   В методологии научного познания Р. понимается двояко. Чаще всего Р. истолковывается как соответствие законам разума - законам логики, методологическим нормам и правилам. То, что соответствует логико-методологическим стандартам, - Р., то, что нарушает эти стандарты, - нерационально или даже иррационально. Иногда под Р. понимают целесообразность. То, что способствует достижению цели, - Р., то, что этому препятствует, - нерациональность.
   До недавних пор считалось, что образцом Р. деятельности является наука и деятельность ученого. Все остальные сферы человеческой деятельности Р. лишь в той мере, в какой они опираются на научные знания и методы. В настоящее время признано, что каждая область деятельности имеет свои стандарты Р., которые далеко не всегда совпадают с научными, поэтому можно говорить о Р. в искусстве, в политике, в управлении и т. д. Поэзия столь же Р., как и наука, но в ней иные стандарты Р.
   РЕКУРСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ (от лат. recurso - возвращаюсь)
    - метод определения арифметической функции ?(у) или предиката Р(у) через область значений этой функции или предиката. Примером Р. о. может быть определение функции сложения:
а + 0 = а,      (1)
а + b'=(а+b)' (2)
В равенстве (1) говорится, что некоторое фиксированное число а (см.: Параметр) при прибавлении к нему нуля дает число а. В равенстве (2) говорится., что если к некоторому фиксированному числу а добавить число, следующее за некоторым фиксированным числом b (т. е. b', или число b+1), то эта сумма будет равна числу, следующему за суммой чисел а+b. Напр., если к числу 2 добавить число, следующее за числом 3, т. е. число 4, то этот же результат можно получить, сложив 2 и 3 и перейдя от полученной суммы к следующему за ней числу. Значение левой и правой частей равенства в данном случае равно 6. Такого рода функции позволяют вычислять значение суммы самых различных чисел. При этом осуществляется переход от некоторого числа п к следующему за ним (к п', или п+1), т. е. строится натуральный ряд чисел начиная с нуля. Допустим, нам требуется сложить 5 и 2. Тогда число 2 представим как следующее за 1, т. е. как 1'. Итак, имеем:
а)5+2=5+1'=(5+1)' б)5+1=5+0'=(5 + 0)'
}
по равенству (2),
в) 5+0=5 - по равенству (1).

[297]
  Теперь будем возвращаться от равенства 5+0=5 (в) к равенству (б), а затем к равенству (а). Раз 5+0=5, то (5+0)'=6 (см. равенство (б)). Раз 5+1 равно 6, то (5+1)'=7 (см. равенство (а)). Итак, 5+2=7. В основе вычислимости арифметических функций, определяемых рекурсивно, лежит класс некоторых других функций, считающихся заданными с самого начала, которые называются примитивно-рекурсивными.
РЕЛЕВАНТНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ, см.: Релевантная логика.
   РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА
    - одна из наиболее известных неклассических теорий логического следования. В названии "Р. л." отражается стремление выделить и систематизировать только уместные (релевантные) принципы логики, исключив, в частности, парадоксы импликации, свойственные импликации материальной классической логики, строгой импликации и др. импликациям.
  В Р. л. формальным аналогом условного высказывания является релевантная импликация, учитывающая содержательную связь, существующую между основанием (антецедентом) и следствием (консеквентом) такого высказывания. Выражение "Утверждение A релевантно имплицирует утверждение В" означает, что В содержится в A и информация, представляемая В, является частью информации A. В частности, A не может релевантно имплицировать В, если в В не входит хотя бы одно из тех утверждений, из которых
слагается А.
   В Р. л. не имеет места принцип, позволяющий из противоречия выводить какое угодно высказывание. Эта логика является, таким образом, одной из паранепротиворечивых логик, не отождествляющих противоречивость опирающихся на них теорий с их тривиальностью, т. е. с доказуемостью в них любого утверждения.
   В Р. л. логически истинное высказывание невыводимо из произвольно взятого высказывания.
   РЕФЕРЕНТ (от лат. refero - называть, обозначать)
    - объект, обозначаемый некоторым именем, то же, что и денотат. Напр., Р. выражения "первый космонавт" будет Юрий Гагарин (см.: Имя, Денотат).
   РЕФЕРЕНЦИЯ
    - отношение между обозначаемым и обозначающим, между предметом и его именем. Отношение Р. изучается теорией референции - разделом логической семантики (см.: Имя, Денотат).