М. л. не отрицает двузначную логику. Напротив, первая позволяет более ясно понять основные идеи, лежащие в основе второй, и является в определенном смысле ее обобщением. В большинстве М. л.


[200]
отсутствуют отдельные законы двузначной логики. В принципе можно построить М. л., в которой не имеет места любой наперед заданный закон двузначной логики. С другой стороны, М. л. таковы, что их законами являются утверждения, не имеющие аналогов в классической логике.
   Эти факты не препятствуют, однако, рассмотрению М. л. как своеобразного обобщения двузначной логики. Некоторые утверждения, являющиеся логическими законами при допущении двух значений истинности, перестают быть законами при введении некоторых дополнительных значений. Но в этом случае законами М. л. не оказываются и отрицания соответствующих двузначных законов. Напр., в интуиционистской логике не имеют места не только законы исключенного третьего и приведения к абсурду, но и отрицания этих законов.
   Ни двузначность, ни многозначность не являются прирожденными свойствами человеческого мышления. Решение одних проблем может быть получено в рамках двузначной логики, рассуждение о других может оказаться более успешным, если опирается на тот или иной вариант М. л. Вопрос же о том, какой является формальная логика как особая наука, с точки зрения числа допускаемых значений истинности не имеет смысла. Логика никогда не исчерпывалась и тем более не исчерпывается сейчас одной-единственной логической системой. Вопрос о числе допускаемых значений истинности может возникнуть только при построении отдельных логических систем и при решении отдельных логических проблем. Логика же как совокупность всего огромного числа существующих конкретных логических систем не является, очевидно, ни двузначной, ни многозначной.
   М. л. существует около полувека. Многие ее проблемы пока не решены или недостаточно исследованы. Тем не менее уже к настоящему времени М. л. нашла большое число приложений, интересных в теоретическом или практическом отношении. Прежде всего открытие М. л. заставило по-новому взглянуть на саму науку логику, ее предмет и используемые ею методы. Оно с особой выразительностью подчеркнуло тот факт, что классическая двузначная логика не является единственно мыслимой и возможной и что современная логика слагается из множества внутренне разнородных логических систем.
   Многозначные системы более богаты, чем двузначная логика: в первых имеются функции, невыразимые во второй. Так, если в двузначной логике имеются только четыре разные функции от одного аргумента, то в трехзначной логике их уже соответственно

[201]
двадцать семь. Это послужило основой попыток определить в рамках М. л. такие понятия, которые, будучи взяты сами по себе, не кажутся достаточно ясными и которые неопределимы в двузначной логике. Речь идет прежде всего о модальных понятиях "необходимо", "возможно", "случайно" и т. п.
   Многозначные системы использовались при построении логики квантовой механики, описывающей логическую структуру языка этой физической теории.
   В информационно-поисковых системах, являющихся системами записи, хранения и обработки данных, используется обычно естественный язык. Выявление логической структуры инормационного поиска и построение общей теории его имитации логическими средствами требует языка формализованного. Было высказано предположение, что для информационного поиска, в процессе которого нередко встречается ситуация неопределенности, целесообразно использовать М. л.
МНОГОЗНАЧНОСТИ ПРИНЦИП, см.: Принцип многозначности.
   МНОГОЗНАЧНОСТЬ
    - характеристика выражения, имеющего в разных контекстах разное значение. Напр., слово "закон" может означать как регулярность, имеющую место в природе или обществе, так и утверждение о такой регулярности, сформулированное в языке науки. С М. связана одна из основных трудностей понимания говорящими друг друга. Подавляющее большинство слов обычного языка многозначно. Так, словарь современного русского литературного языка указывает семнадцать разных значений глагола "стоять"; слово "жизнь" имеет более тридцати значений и т. д. Между одними значениями трудно найти ч.-л. общее, между другими трудно провести различие.
  М. как естественная и неотъемлемая черта естественного языка сама по себе не является недостатком. Но она таит в себе потенциальную возможность логической ошибки. В процессе общения всегда предполагается, что в конкретном рассуждении смысл входящих в него слов не меняется. Если речь идет, допустим, о новом как незнакомом, пока не будет оставлена данная тема, слово "новый" должно обозначать "незнакомый", а не "следующий" или "современный". Логическая ошибка, связанная с подменой значения слова, называется эквивокацией. Допускается она, напр., в рассуждении: "В грамматике достаточно знать только имена существительные, т. к. глагол, наречие, прилагательное и т. д. - все это существительные".
   Многозначными могут быть не только отдельные слова, но и части фраз, и целые фразы. Напр., высказывание "Часть программы


   

[202]
полностью не была выполнена" может означать, что эта часть оказалась полностью невыполненной, но может означать, что она была выполнена неполностью. Логическая ошибка, связанная с подменой одного значения высказывания другим возможным его значением, именуется амфиболией.
   МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
    - математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. - свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных.
   Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами или членами множества A. Если элемент х принадлежит множеству A, то это обозначается так: хI А; если же х не есть элемент A, то это обозначается так: хIА. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству В, то это записывается так: А I В. Множество A называется в этом случае подмножеством множества В, а отношение "I" - отношением включения множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. В приложениях М. т. часто рассматривают подмножества некоторого фиксированного множества, которое называют универсальным множеством и обозначают символом U. Важнейшими принципами М. т. являются принцип экстенсиональности и принцип свертывания (абстракции). Согласно принципу экстенсиональности, два множества A и В равны только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов. Согласно принципу свертывания, любое свойство Р определяет некоторое множество А, элементами которого являются объекты, обладающие свойством Р.
   Объединение множеств A и В обозначается через AEB. Объединение A и В есть множество всех предметов, которые являются элементами множества А или множества В, т. е. х принадлежит объединению А E В, если х принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.
   Пересечение множеств A и В обозначается через ACB. Пересечение A и В есть множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств A и В, т. е. х принадлежит пересечению ACB, если х принадлежит как множеству A, так и В.
   Разность множеств А - В есть множество элементов A, не принадлежащих В.
   Дополнением множества A (обозначается A') называется множество элементов универсального множества U, не принадлежащих A, т. е. U - А.
[203]
   Для любых подмножеств A, В и С универсального множества U справедливы следующие важные равенства:

   
    
   Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные названия: 7 и 7' - законы идемпотентности, 9 и 9' - законы поглощения, 10 и 10' - законы де Моргана.
   Классическая М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов - противоречий, к которым приводит применение законов формальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разработка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устранением парадоксов.
   МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
    - раздел неклассической логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний, т. е. высказываний, включающих модальности. М. л. слагается из ряда направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенного типа. Так, теория логических модальностей изучает логическое поведение высказываний, включающих модальные понятия "логически необходимо", "логически возможно", "логически случайно". Логика эпистемическая исследует высказывания, содержащие разного рода теоретико-познавательные понятия: "верифицируемо", "непроверяемо", "фальсифицируемо", "полагает", "сомневается", "отвергает" и т. п. Деонтическая логика изучает логические связи нормативных высказываний. Оценок логика занимается аксиологическими модальностями, логика времени - временными модальностями и т. д.
   Модальные понятия разных типов имеют общие формальные свойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, если противоположное не является необходимым; разрешено, если противоположное не обязательно; допус-


[204]
кается, если нет убеждения в противоположном. Случайно то, что не является ни необходимым, ни невозможным. Безразлично то, что не обязательно и не запрещено. Неразрешимо то, что недоказуемо и неопровержимо, и т. п.
   Подобным же образом сравнительные модальные понятия разных групп определяются по одной и той же схеме: "первое лучше второго" равносильно "второе хуже первого", "первое раньше второго" равносильно "второе позже первого", "первое причина второго" равносильно "второе следствие первого" и т. д.
   В каждом направлении М. л. доказуема своя версия принципа модальной полноты, являющегося модальным аналогом закона исключенного третьего. В теории логических модальностей принцип полноты утверждает, что каждое высказывание является или необходимым, или случайным, или невозможным; в деонтической логике - что всякое действие или обязательно, или нормативно безразлично, или запрещено; в логике оценок - что всякий объект является или хорошим, или оценочно безразличным, или плохим и т. д.
   В каждом направлении М. л. есть и своя версия принципа модальной непротиворечивости, являющегося модальным аналогом закона непротиворечия: высказывание не может быть как обязательным, так и запрещенным; объект не может быть и хорошим, и плохим, и т. д.
   Модальные понятия, относящиеся к разным группам, имеют разное содержание. При сопоставлении таких понятий (напр., "необходимо", "доказуемо", "убежден", "обязательно", "хорошо", "всегда") складывается впечатление, что они не имеют ничего общего. Однако М.л. показывает, что это не так. Модальные понятия разных групп выполняют одну и ту же функцию: они уточняют устанавливаемую в высказывании связь, конкретизируют ее. Правила их употребления определяются только этой функцией и не зависят от содержания высказываний. Поэтому данные правила являются едиными для всех групп понятий и имеют чисто формальный характер.
   В последние десятилетия М.л. бурно разрастается, включая в свою орбиту все новые группы модальных понятий. Существенно усовершенствованы способы ее обоснования. Это придало М.л. новый динамизм и поставило ее в центр современных логических исследований (см.: Логика изменения, Предпочтений логика, Причинности логика).
   МОДАЛЬНОСТЬ (от лат., modus - мера, способ)
    - оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий "необходимо", "возможно", "доказуемо", "опровержимо", "обязательно", "разрешимо" и т. п.

[205]
  О предмете S можно просто сказать, что он имеет свойство Р. Но можно, сверх того, уточнить, является ли эта связь S и Р необходимой или же она случайна, всегда ли S будет Р или нет, хорошо ли, что S есть Р, или плохо, доказано ли, что S есть Р, или это только предполагается и т. д. Результатами таких уточнений будут модальные высказывания разных типов. Общая их форма: М (S есть Р) или М (S не есть Р); вместо М в эту форму могут подставляться различные понятия, определяющие тип связи субъекта и предиката. Напр., из немодального высказывания "Цезий - металл" можно образовать модальные высказывания "Возможно, что цезий - металл", "Хорошо, что цезий - металл", "Немыслимо, чтобы цезий был металлом", "Доказано, что цезий - металл" и т. д. Модальной оценке могут быть подвергнуты не только связи предметов и признаков, но и связи других типов. Напр., из сложного высказывания "Если металлический стержень нагреть, он удлинится" можно получить модальные высказывания "Необходимо, что если металлический стержень нагреть, он удлинится", "Всегда будет так, что металлический стержень удлиняется, если его нагреть" и т. п.
   Одно и то же высказывание может стать объектом нескольких последовательных модальных оценок с одной или разных точек зрения ("Хорошо, что доказано, что цезий - металл").
   Логические связи модальных высказываний являются объектом исследования модальной логики. Из разнообразных возможных типов модальных оценок она выбирает немногие, наиболее интересные.
   В современной модальной логике исследуются следующие группы модальных понятий:


[206]
   Логические М. изучались еще Аристотелем (384-322 до н. э.) и средневековыми логиками. Детальное исследование других групп М. началось в 50-е годы нашего века, хотя первые упоминания о них относятся еще к поздней античности и средним векам (см.: Аксиологические М., Деонтические М., Логика времени, Логика изменения, Эпистемическая логика, Предпочтений логика, Причинности логика).
   МОДЕЛЬ (от лат. modulus - мера, образец, норма)
    - а) в самом широком смысле - любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). К их числу относятся гносеологические образы (воспроизведение, отображение исследуемого объекта или системы объектов в виде научных описаний, теорий, формул, систем упражнений и т. п.), схемы, чертежи, графики, планы, карты и т. д.; б) специально создаваемый или специально подбираемый объект, воспроизводящий характеристики изучаемого объекта. Большую роль в современной науке играют т.наз. знаковые М., позволяющие в виде формул, уравнений, графиков и т. п. отображать существенные отношения между изучаемыми предметами, явлениями, различные процессы. Пример знаковой М. - дифференциальное уравнение в математике, описывающее (моделирующее) протекание во времени к.-л. физического процесса. Знаковые М. широко используются в информатике при создании соответствующих программ для ЭВМ; к их числу принадлежат М., воспроизводящие решение сложных задач, специфических для деятельности человеческого мозга и имеющих творческий характер (М., относимые в информатике к искусственному интеллекту). Между М. и изучаемым объектом (оригиналом), который может представлять собой весьма сложную систему, должно существовать сходство в каких-то физических характеристиках, или в структуре, или в функциях (см.: Моделирование).
   В математической логике под М. понимается интерпретация к.-л. логико-математических предложений и их систем. В разрабатываемой в математической логике теории М. под М. понимается произвольное множество элементов с определенными на нем функциями и предикатами (см.: Семантика логическая). Понятие М. является одним из центральных и сложных понятий теории познания, поскольку оно опирается на понятие отражения, истины, сход-

[207]
ства, различия, правдоподобия и т. п.; роль его в методологии науки огромна.
   МОДЕЛЬ СЕМАНТИЧЕСКАЯ
    - система значений, приписываемых выражениям некоторого формализованного языка, то же, что интерпретация. Логические системы часто строятся в виде формального исчисления, принимающего во внимание лишь внешний вид формул и символов. Исчисление превращается в язык после того, как его символом придано некоторое значение и указана область объектов, к которой относятся его выражения и формулы. После этого мы можем говорить об истинности и ложности формул исчисления. М. с. как раз и называют систему значений или область объектов, которые превращают формулы логического исчисления в истинные или ложные утверждения.
   МОДУС (лат. modus - мера, способ, образ, вид)
    - философский термин, обозначающий свойство предмета, присущее ему только в некоторых состояниях и зависящее от окружения предмета и тех связей, в которых он находится. М. противопоставляется атрибуту- неотъемлемому свойству предмета, без которого он не может ни существовать, ни мыслиться.
   В логике М. - разновидность некоторой общей схемы рассуждения. Чаще всего говорят о М., или формах, силлогизма (правильных и неправильных). К М., скажем, гипотетического силлогизма относятся М. поненс и М. толленс, к М. дизъюнктивного силлогизма - М. толлендо поненс и М. понендо толленс.
   МОДУС ПОНЕНДО ТОЛЛЕНС (лат. modus ponendo tollens)
    - термин средневековой логики, обозначающий следующие схемы рассуждения:
Либо A, либо В; А.


и

Либо A, либо В; В.

Неверно В.


Неверно A.

Здесь A и В - некоторые высказывания; "либо A, либо В" и "A" - посылки; "неверно, что B" ("не-В") - заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись:
Либо A, либо В. А. Следовательно, не-В. Либо A, либо В. В. Следовательно, не-А.
   Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое, значит, второго нет. Напр.:


[208]
Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.
Он родился в Москве.______
Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.
   Дизъюнкция, входящая в М. п. т., является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Напр.:
На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе был Амундсен.