В современной логике имеется большое число И., различающихся своими формальными свойствами. Наиболее известны из них И. материальная, строгая И. и релевантная (уместная) И.
   Материальная И. обозначается знаком E. Это одна из основных связок логики классической. Определяется она через функции истинности: И. ложна только в случае истинности антецедента и ложности консеквента и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание "Если А, то В" предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в A и В; выражение А EВ такой связи не предполагает.
   Строгая И. определяется через модальное понятие (логической) невозможности: "А строго имплицирует В" означает "Невозможно, чтобы А было истинно, а В ложно".
   В релевантной логике И. понимается как условный союз в его обычном смысле. В случае релевантной И. нельзя сказать, что истинное высказывание может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание.
   ИМПЛИКАЦИЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ - импликация в трактовке логики классической.
  Для установления истинности И. м. "Если А, то В" достаточно выяснить истинностные значения высказываний А и В. И. м. истинна в трех случаях: 1) ее основание и ее следствие истинны; 2) основание ложно, а следствие истинно; 3) и основание и следствие ложны. Только в одном случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. При установлении истинности И. м. не предполагается, что высказывания A и В связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание "Если A, то В" истинно, независимо от того, является A истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет. Истинными считаются, напр., высказывания: "Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре", "Если Волга - озеро, то Токио - большой город" и т. п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно. При этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с A или нет. К истинным относятся, напр., высказывания: "Если Солнце - куб, то Земля - треугольник", "Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город" и т. п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей

[119]
степени как истинные. Очевидно, что И. м. плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.
В классической логике И. м. является формальным аналогом условного высказывания. Но, схватывая многие важные черты "логического поведения" условного высказывания, И.м. не является достаточно адекватным его описанием. Ряд законов классической логики, содержащих И. м. и не согласующихся с обычными, или интуитивными, представлениями о логических связях, получил название парадоксов материальной импликации (см.: Парадоксы импликации). В числе этих парадоксов закон Дунса Скота (парадокс ложного высказывания), парадокс истинного высказывания и др. В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от И. м., а о введении наряду с нею другого понятия импликации, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию. Наибольшую известность среди таких "неклассических" импликаций получили строгая импликация и релевантная импликация (см.: Логическое следование). Теории "неклассических" импликаций являются сужениями классической логики, выступающей в качестве своего рода предельного их случая. Польский логик А. Тарский отмечал: "...в настоящее время представляется почти несомненным, что теория И.м. превзойдет все другие теории в простоте, и во всяком случае не надо забывать, что логика, опирающаяся на это простое понятие, оказалась вполне пригодной основой для самых сложных и тонких математических рассуждений".
   ИМЯ
    - выражение естественного или искусственного, формализованного языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность сходных предметов, свойства, отношения и т. п. Напр., слово "Наполеон" обозначает отдельный предмет - Наполеона Бонапарта; слово "полководец" обозначает класс людей, каждый из которых командовал войсками в сражениях; слово "белый" можно рассматривать как обозначение свойства белизны; слово "выше" - как обозначение определенного отношения между предметами.
   Объект, обозначаемый И., называется денотатом этого И.; содержание И., т. е. способ, которым оно указывает на свой денотат, называется смыслом И. В традиционной логике понятиям "денотат" и "смысл" соответствуют понятия объема и содержания. Между И. и его денотатом имеется отношение именования, т. е. И. называет, именует свой денотат. При построении логических систем стремятся к тому, чтобы отношение именования удовлетворяло трем следующим принципам.


[120]
   1.Принцип однозначности: И. должно иметь только один денотат, т. е. обозначать только один предмет, класс предметов или свойство. Принцип однозначности в естественных языках часто нарушается из-за многозначности и неопределенности слов и выражений. Однако следует стремиться к тому, чтобы по крайней мере в пределах одного контекста или одного рассуждения наши слова и выражения относились к одним и тем же объектам. В противном случае неизбежны логические ошибки.
   2. Принцип предметности: всякое предложение говорит о денотатах входящих в него выражений. Напр., предложение "Уральские горы разделяют Европу и Азию" говорит не об именах "Уральские горы", "Европа", "Азия", а о той горной цепи, которая разделяет Европейский и Азиатский материки. Принцип предметности кажется достаточно очевидным, однако, когда мы начинаем говорить о самих языковых выражениях или о математических объектах, может произойти смешение И. с их денотатами.
   3. Принцип взаимозаменимости: если два И. имеют один и тот же денотат, то одно из них можно заменить другим, причем предложение, в котором осуществляется такая замена, не изменяет своего истинностного значения. Напр., И. "Москва" и "столица России" имеют один и тот же денотат, поэтому в предложении "Москва - многомиллионный город" можно И. "Москва" заменить И. "столица России": "Столица России - многомиллионный город". Второе предложение остается истинным.
  Принцип взаимозаменимости называют также принципом экстенсиональности (объемности), т. к. он служит для отличения экстенсиональных контекстов от интенсиональных. Экстенсиональным наз. такой контекст, для которого важны только денотаты языковых выражений. Поэтому принцип взаимозаменимости в таком контексте выполняется: при замене И. с одним денотатом предложение сохраняет свое истинностное значение. Однако если для контекста важен не только денотат, но и смысл И., принцип взаимозаменимости нарушается: замена И. с одним денотатом может сделать истинное предложение ложным. Поэтому неэкстенсиональными, или интенсиональными, наз. контексты, в которых принцип взаимозаменимости нарушается. Напр., цифра "9" и И. "число планет Солнечной системы" имеют один и тот же денотат (т. к. число планет Солнечной системы равно 9). Рассмотрим предложение: "9 необходимо больше 7". Это предложение истинно. Заменим теперь в этом предложении "9" именем "число планет Солнечной системы", получим предложение: "Число планет Солнечной системы необходимо боль-

[121]
ше 7". Последнее предложение очевидно ложно, т. к. нет никакой необходимости в том, чтобы число планет Солнечной системы превосходило 7.
   В зависимости от характера денотата и смысла И. подразделяются на классы.
   Единичное (собственное) И. - И., денотатом которого является один-единственный предмет, напр. "Аристотель", "Монблан", "Нева", "величайший философ древности", "река, на которой стоит Ленинград" и т. п.
   Общее И. - И., денотатом которого является класс однородных предметов, напр. "философ", "гора", "река" и т. п.
   Пустое И. - И., у которого отсутствует денотат, т. е. не существует такого предмета, который обозначается данным И., напр. "единорог", "Зевс", "русалка", "кентавр" и т. п. Вопрос о пустоте или непустоте того или иного И. часто имеет большое значение, и на него не всегда просто ответить. Имеются логически противоречивые И., смысл которых включает в себя логически несовместимые признаки, напр. "круглый квадрат", "деревянное железо". Такие И. можно назвать логически пустыми. Однако существование женщин с рыбьим хвостом или существ, объединяющих в себе коня и человека, не противоречит законам логики, но с точки зрения физики и биологии невозможно. Поэтому И. "русалка" и "кентавр" пусты по естественнонаучным основаниям. Во многих случаях мы не знаем законов природы, отрицающих существование тех или иных объектов, поэтому вопрос о пустоте или непустоте соответствующих И. решается эмпирическим исследованием.
   Конкретное И. -И., обозначающее отдельный предмет, вещь, в противоположность абстрактному И., обозначающему свойство или отношение между предметами. Напр., слово "стол" - конкретное И., т. к. обозначает предметы, целостные вещи, а слово "белизна" является абстрактным И., поскольку обозначает не предмет, а свойство предметов. Деление И. на конкретные и абстрактные осуществляется в рамках традиционной логики и не является вполне определенным. Во многих случаях довольно трудно решить, имеем ли мы дело с предметом или с некоторым свойством. Напр., такие слова, как "республика", "совесть" и т. п., можно истолковать и как обозначения предметов, и как обозначения свойств и отношений.
   ИНДИВИД (от лат. individuum - неделимое)
    - единичное как противоположность совокупности, массе; отдельное живое существо, особь, отдельный человек, в отличие от стада, группы, коллектива. В логике И. называют любой объект, обозначаемый единичным, или собственным, именем. Логические формальные


[122]
исчисления, содержащие общие и экзистенциальные предложения, обычно предполагают существование непустой области к.-л. индивидуальных предметов - индивидов, к которым относятся утверждения формальной системы. Природа И. для логики безразлична, требуется только, чтобы они отличались один от другого и чтобы каждый И. обозначался одним именем.
   ИНДУКТИВНАЯ ЛОГИКА
    - раздел логики, изучающий индуктивные умозаключения, которые отличаются от дедуктивных умозаключений тем, что вывод в них вытекает из посылок не с необходимостью, а лишь с некоторой вероятностью. Типичным примером индуктивного умозаключения является переход от единичных фактов к общему утверждению. Современная И.л. в основном занимается анализом степени подтверждения гипотезы h на основании имеющегося свидетельства е. В формальной теории степень связи между гипотезой h и свидетельством е выражается функцией c(h,e), удовлетворяющей условию 0?c(h,e) ?1. Значение функции с (h, е) равно 1, если Л логически выводится из е; оно равно О, если е противоречит Л; во всех остальных случаях оно располагается в интервале (О, 1) и характеризует большую или меньшую степень вероятности (подтверждения) гипотезы Л по отношению к свидетельству е. В некоторых теориях И. л. степень подтверждения гипотезы h оценивается не строго количественно, а лишь сравнительно - в терминах "больше - меньше" (см.: Индукция).
   ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
    - определение, позволяющее из некоторых исходных объектов теории с помощью некоторых операций строить новые объекты теории. И.о. находят широкое применение в математике, логике и других науках. Примером может быть И.о. натуральных чисел. Исходным объектом здесь будет число 0, исходной операцией - "следующее за п", т. е. операция, обеспечивающая переход от числа п к п + 1. Она обозначается "'" ("n'" - "следующее за n"). И.о. состоит из ряда пунктов: 1) 0 является натуральным числом; 2) если п - натуральное число, то п' -натуральное число; 3) никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно применению пунктов (1) и (2), нет.
   Таково же определение четного числа. Исходным объектом здесь является число 0, исходной операцией - операция прибавления двойки (+2), И. о. состоит из таких пунктов: 1) 0- четное число; 2) если п - четное число, то п + 2 - четное число; 3) никаких (натуральных) чисел, кроме тех, которые порождены применением пунктов (1) и (2), нет.
   Примером И. о. может быть И. о. формулы в исчислении высказываний.

[123]
   Различают два основных вида И. о.: фундаментальные и нефундаментальные. Фундаментальными называются такие И. о., с помощью которых из исходных объектов порождается та или иная исходная предметная область. Нефундаментальными являются И. о., с помощью которых из заранее определенной области объектов выделяется некоторое ее подмножество. Приведенные выше И. о. натурального числа и формулы в исчислении высказываний являются фундаментальными, И. о. четного числа является нефундаментальным: предполагается, что область натуральных чисел дана с самого начала или порождена фундаментальным И. о., а мы на ней определяем некоторое подмножество натуральных чисел (т. е. множество "четные числа").
   ИНДУКЦИИ КАНОНЫ (от греч. canon - правило, предписание)
    -методы установления причинных связей между явлениями. Сформулированы англ. логиком Д. С. Миллем (1806-1873) ("методы Милля", "каноны Милля"). Он опирался на "Таблицы открытий" англ. философа Ф. Бэкона (1561-1626).
   Метод единственного сходства:
    если предшествующие обстоятельства ABC вызывают явление abc, а обстоятельства ADE - явление ade, то делается заключение, что А - причина а (или что явления А и а причинно связаны). Так, желая установить, почему изучаемые маятники имеют одинаковый период колебания при различии материалов, из которых они изготовлены, различии форм и других их характеристик, мы обнаруживаем между ними единственное сходство: они имеют одинаковую длину. Отсюда делается заключение, что одинаковая длина маятников есть причина равенства периодов их колебаний.
   Метод единственного различия: если предшествующие обстоятельства ABC вызывают явление abc, а обстоятельства ВС (явление A устраняется в ходе эксперимента) вызывают явление bc, то делается заключение, что А есть причина а. Основанием такого заключения служит исчезновение а при устранении A. Допустим, в спектре вещества, содержащего натрий, наблюдается желтая линия. При устранении натрия из этого вещества желтая линия исчезает. Делается заключение, что присутствие натрия в данном веществе есть причина желтой линии в наблюдаемом спектре.
   Объединенный метод сходства и различия образуется как подтверждение результата, полученного с помощью метода единственного сходства, применением к нему метода единственного различия.
   Метод сопутствующих изменений:
    если при изменении предшествующего явления а изменяется и наблюдаемое


[124]
явление а, а остальные предшествующие явления остаются неизменными, то отсюда можно заключить, что А является причиной а. Так, изменяя температуру некоторого тела A, мы устанавливаем, что объем его также изменяется; при этом все иные обстоятельства, предшествующие явлению а, остаются неизменными. Делается заключение, что А есть причина а.
   Метод остатков.
    Пусть изучаемое сложное явление U состоит из частей (abcd), а предшествующие обстоятельства ABC таковы, что A есть причина а, В есть причина b, С есть причина с. Поскольку abcd - части сложного явления и взаимосвязаны, можно предположить, что среди названных обстоятельств должно существовать обстоятельство D, которое и является причиной d -остатка изучаемого явления U. Так, французский астроном Леверье, используя метод остатков, предсказал существование планеты Нептун. При наблюдении планеты Уран было обнаружено ее отклонение от вычисленной орбиты. Далее было выяснено, что силы тяготения других известных планет (А, В, С) являются причинами величин отклонения abc. Оставалась необъясненной величина отклонения d. Леверье построил гипотезу о существовании неизвестной планеты D и описал некоторые ее характеристики. Вскоре немецкий астроном Галле открыл планету Нептун.
   Иногда простая последовательность событий принимается за их причинную связь. В этом случае допускается ошибка, которая носит название "после этого, следовательно, по причине этого" (post hoc ergo propter hoc). Эта логическая ошибка явилась причиной многих суеверий. Напр., солнечное затмение рассматривалось как причина возникновения ряда народных бедствий на том основании, что когда-то солнечное затмение предшествовало войне, неурожайному году и т. п.
   ИНДУКЦИЯ (от лат. inductio - наведение)
    - умозаключение, в котором связь посылок и заключения не опирается на логический закон, в силу чего заключение вытекает из принятых посылок не с логической необходимостью, а только с некоторой вероятностью. И. может давать из истинных посылок ложное заключение; ее заключение может содержать информацию, отсутствующую в посылках. И. противопоставляется дедукция - умозаключение, в котором связь посылок и заключения опирается на закон логики и в котором заключение с логической необходимостью следует из посылок.
Два примера индуктивных умозаключений:
Енисей течет с юга на север; Лена течет с юга на север; Обь и Иртыш текут с юга на север.

[125]
Енисей, Лена, Обь, Иртыш - крупные реки Сибири. Все крупные реки Сибири текут с юга на север.
Железо - металл; медь - металл; калий - металл; кальций -
металл; рутений - металл; уран - металл.
Железо, медь, калий, кальций, рутений, уран - химические
элементы.
Все химические элементы - металлы.
   Посылки обоих этих умозаключений истинны, но заключение первого истинно, а второго ложно.
   Понятие дедукции (дедуктивного умозаключения) не является вполне ясным. И. (индуктивное умозаключение) определяется, в сущности, как "недедукция" и представляет собой еще менее ясное понятие. Можно темные менее указать относительно твердое "ядро" индуктивных способов рассуждения. В него входят, в частности, неполная И., индуктивные методы установления причинных связей, аналогия, т.наз. "перевернутые" законы логики и др.
   Неполная И. представляет собой рассуждение, имеющее следующую структуру:
S1 есть Р, S2 есть Р,
.............
Sn есть Р
Все S1, S2,..., Sn есть S.
Все S есть Р.
Посылки данного рассуждения говорят о том, что предметам S1, S2,..., Sn, не исчерпывающим всех предметов класса S, присущ признак Р и что все перечисленные предметы S1, S2, ..., Sn принадлежат классу S. В заключении утверждается, что все S имеют признак Р. Напр.:
Железо ковко.
Золото ковко.
Свинец ковок.
Железо, золото и свинец - металлы.
Все металлы ковки.
   Здесь из знания лишь некоторых предметов класса металлов делается общий вывод, относящийся ко всем предметам этого класса.
   Индуктивные обобщения широко применяются в эмпирической аргументации. Их убедительность зависит от числа приводи-


[126]
мых в подтверждение случаев. Чем обширнее база индукции, тем более правдоподобным является индуктивное заключение. Но иногда и при достаточно большом числе подтверждений индуктивное обобщение оказывается все-таки ошибочным. Напр.:
Алюминий - твердое тело.
Железо, медь, цинк, серебро, платина, золото, никель, барий, калий, свинец - твердые тела.
Алюминий, железо, медь, цинк, серебро, платина, золото, никель, барий, калий, свинец - металлы.
Все металлы - твердые тела.
   Все посылки этого умозаключения истинны, но его общее заключение ложно, поскольку ртуть - единственная из металлов - жидкость.
   Поспешное обобщение, т. е. обобщение без достаточных на то оснований, - обычная ошибка в индуктивных умозаключениях и, соответственно, в индуктивной аргументации. Индуктивные обобщения всегда требуют известной осмотрительности и осторожности. Их убедительная сила невелика, особенно если база индукции незначительна ("Софокл - драматург; Шекспир -драматург; Софокл и Шекспир - люди; следовательно, каждый человек - драматург"). Индуктивные обобщения хороши как средство поиска предположений (гипотез), но не как средство подтверждения каких-то предположений и аргументации в их поддержку.
   Начало систематическому изучению И. было положено в начале XVII в. Ф. Бэконом. Уже он весьма скептически относился к неполной И., опирающейся на простое перечисление подтверждающих примеров.
   Этой "детской вещи" Бэкон противопоставлял описанные им особые индуктивные принципы установления причинных связей. Он даже полагал, что предлагаемый им индуктивный путь открытия знаний, являющийся очень простой, чуть ли не механической процедурой, "почти уравнивает дарования и мало что оставляет их превосходству...". Продолжая его мысль, можно сказать, что он надеялся едва ли не на создание особой "индуктивной машины". Вводя в такого рода вычислительную машину все предложения, относящиеся к наблюдениям, мы получали бы на выходе точную систему законов, объясняющих эти наблюдения.
   Программа Бэкона была, разумеется, чистой утопией. Никакая "индуктивная машина", перерабатывающая факты в новые зако-