Элементарные формулы в Л. к. имеют вид: иIv, u=v, где и и v - термы. Если формула Р является истинной, то это означает, что она истинна для любых классов области, являющихся значениями переменных, входящих в формулу Р. Если она истинна в любых областях, то она тождественно-истинна. Так, формула (a C b I a) гласит, что всякий элемент, содержащийся в обоих классах а и b, содержится и в классе а. Эта формула истинна не только для любых классов а и b данной области D, но и для всяких классов любой области D.
   Таблицы истинности, соответствующие возможным значениям для термов (u C v), (U E V), U', (и E v), (u= v), будут совпадать соответственно с таблицами конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквивалентности. Четыре Аристотелевы формы элементарных высказываний - общеутвердительного А, частноутвердительного I, общеотрицательного Е, частноотрицательного О (см.: Суждение) - могут быть соответственно выражены так: и I v ("Все и суть v"); ~(и I v') ("Некоторые и суть v", т. е. "Неверно, что все и суть не-v"); (иIv') ("Никакое и не есть v", т. е. "Всякое и есть не -v"); ~(иEv) (Некоторые и не суть v", т. е. "Неверно, что все и суть v").
   ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ (от лат. combinare - соединять, сочетать)
    - одно из направлений в математической логике, занимающееся анализом понятий, которые в рамках классической математической логики принимаются без дальнейшего изучения (напр., понятия "переменная", "функция", "правила подстановки" и т. д.). В классической математической логике пользуются правилами двух родов. Первые формулируются просто и используются без всяких ограничений. Таково, напр., правило модус поненс. Оно формулируется так: если даны предложения "Если A, то B" и "A", то из них может быть выведено предложение "B". Это правило доступно для одноактного автоматического выполнения. Другие правила (напр., правило подстановки) формулируются сложно и предполагают ряд ограничений и оговорок. Одной из задач Л. к. является создание таких формальных систем, где не будет встречаться правил, подобных правилу подстановки.
ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ, см.: Многозначная логика.
   ЛОГИКА НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ, или: Логика науки,
    -применение идей, методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал, из которого она извлекает то, что именуется логической формой, законом и т. д. Теории логической правильности оказываются в конечном
[167]

счете очищением, систематизацией и обобщением практики мышления.
   Современная логика с особой наглядностью подтверждает это. Она активно реагирует на изменения в стиле и способе научного мышления, на осмысление его особенностей в методологии науки. Сфера приложений логики в изучении систем научного знания непрерывно расширяется. В конце XIX - начале XX в. логика почти всецело ориентировалась на исследование математического рассуждения, и эта связь с математикой была настолько тесной, что до сих пор в имени "математическая логика" прилагательное "математическая" иногда истолковывается как указывающее не только на своеобразие методов новой логики, но и на сам ее предмет. В 20-е годы этого века предмет логических исследований научного знания существенно расширился. Начали складываться такие разделы логики, как многозначная логика, модальная логика, теория логического следования, деонтическая логика и др. Были предприняты попытки систематического построения индуктивной логики. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекалось уже естественнонаучное и гуманитарное знание.
   В 30-40-е годы Л. н. п. интенсивно разрабатывалась в рамках философии неопозитивизма, сделавшей логический анализ языка науки основным средством борьбы с "дурной метафизикой" и порождаемыми ею "псевдопроблемами". Неопозитивизм принял идею о безоговорочной применимости математической (современной) логики не только к дедуктивным наукам, но и к опытному знанию и резко противопоставил свою "логику науки" традиционному философскому и методологическому анализу познания. Претенциозная неопозитивистская программа сведения философии науки к логическому анализу ее языка потерпела крах. Причина его не в принципиальной неприменимости современной логики к опытному знанию, а в порочных философcко-методологических установках, связанных с фетишизацией формальных аспектов познания, абсолютизацией языка и формальной логикой. Особенности неопозитивистской методологии - изоляционизм, отказ от исследования научного знания в динамике, наивный индуктивизм, эмпирический фундаментализм и редукционизм - фатальным образом сказались не только на самой этой методологии, но и на направляемом ею логическом анализе научного знания. Неудачными оказались, в частности, попытки чисто формальными средствами охарактеризовать индукцию, определить понятие естественнонаучного закона, диспозиционного предиката, объяснения,


[168]
контрфактического высказывания, осуществить сведение теоретических терминов к эмпирическим и др. Неопозитивистское расширительное истолкование возможностей Л. н. п. было преодолено только в конце 50-х - начале 60-х годов, когда стало очевидно, что задачи, которые выдвигались перед нею неопозитивизмом, плохо поставлены и не имеют решения. Борьба неопозитивизма против "псевдопроблем" традиционной философии и теории познания во многом вылилась в бесплодные дискуссии по поводу псевдопроблем самой неопозитивистской логики науки.
   Сейчас логический анализ научного знания активно ведется в целом ряде как давно освоенных, так и новых областей. Самым общим образом их можно обозначить так:
>> методология дедуктивных наук;
>> применение логического анализа к опытному знанию;
   >> применение логического анализа к оценочно-нормативному знанию;
   >> исследование приемов и операций, постоянно используемых во всех сферах научной деятельности (объяснение, понимание, классификация и т. д.).
   Использование логики в анализе научного познания означает ее рост не только вширь, но и вглубь, хотя последний процесс из-за сопровождающих его споров менее заметен. Прояснение и углубление оснований логики сопровождается пересмотром и уточнением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и др.
   Начиная с 50-х годов этого века к логической форме оказались отнесенными такие непривычные для традиционной логики понятия, как "было", "будет", "раньше", "позже" и "одновременно", "хорошо", "плохо" и "безразлично", "знает" и "полагает", "возникает" и "исчезает", "уже есть" и "еще есть" и т. д. Сама логическая форма сделалась относительной: она зависит не только от исследуемого языкового выражения, но и от принятой системы анализа, от того формализованного языка, на который оно "переводится".
   Возникновение конкурирующих систем логики показало, что законы логики не являются истинами, никак не связанными с практикой мышления, и зависят от области, к которой они прилагаются. Так, при рассуждении о бесконечных совокупностях объектов не всегда применим закон исключенного третьего, принципы косвенного доказательства и др. Рассуждение о недостаточно определенных или изменяющихся во времени объектах также требует особой логики и т. д. Более того, на разных этапах развития науч-


[169]
ной теории находят применение разные множества логических законов. Так, в условиях формирующейся теории ограничена применимость закона противоречия, законов, позволяющих выводить любые следствия из противоречий и отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным (паранепротиворечивая логика и парафалъсифицирующая логика). Обнаружилась, таким образом, "двойная гибкость" человеческой логики. Она может меняться не только в зависимости от области обсуждаемых объектов, но и в зависимости от уровня теоретического осмысления этой области.
   Приложения логики показали, что доказательство не обладает абсолютной, вневременной строгостью и является только культурно опосредствованным средством убеждения. Даже математическое доказательство на деле исторично и социально обусловлено. В разных логических системах доказательствами считаются разные последовательности утверждений и ни одно доказательство не является окончательным.
   В стандартном определении доказательства используется понятие истины. Доказать некоторое утверждение - значит логически вывести его из других являющихся истинными положений. Но многие утверждения не связаны с истиной: оценки, нормы, советы, клятвы, декларации и т. п. Очевидно, что они тоже могут быть элементами логически последовательных рассуждений и доказательств. Встает, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства. Им должны охватываться не только описания, способные иметь истинностное значение, но и все те многообразные утверждения, которые не являются описаниями и не могут быть сведены к ним.
   Стандартный курс современной логики начинается определением высказывания как предложения, являющегося истинным или ложным. Поскольку оценки, нормы и т. п. очевидным образом не имеют истинностного значения, данное определение можно понимать так, что все, излагаемое после него, не приложимо к оценочным, нормативным и им подобным выражениям.
   Обычное понимание логического следования существенным образом опирается на понятие истины: из множества посылок A логически следует высказывание В, если и только если при любой интепретации, при которой истинны все высказывания из A, истинно также высказывание В. Это можно истолковать так, что между оценками, нормами, как и между всеми иными выражениями, лишенными истинностного значения, невозможно отношение логического следования. Очевидно, однако, что оценочные, норматив-


[170]
ные и им подобные высказывания способны быть посылками и заключениями логически корректных рассуждений. Это означает, что "высказывание", "логическое следование" и др. центральные понятия логики должны быть определены в терминах, отличных от "истины" и "лжи". Намечается выход логики за пределы "царства истины", в котором она находилась до сих пор. Понимание ее как науки о приемах получения истинных следствий из истинных посылок должно уступить место более широкой концепции логики.
   Под влиянием приложений логики и прежде всего ее приложений в анализе научного знания существенно изменились представления об отношении логики к мышлению и языку. Согласно господствовавшей в 30-е годы точке зрения, правила логики представляют собой продукт произвольной конвенции и выбор их, как и выбор правил игры, ничем не ограничен. В силу этого все искусственные языки, имеющие ясную логическую структуру, равноправны, и ни один из них не лучше и не хуже другого. Это - т. наз. принцип терпимости, выдвинутый в конце 20-х годов К. Менгером и активно пропагандировавшийся позднее Р. Карнапом. Данный принцип отрывает логику от обычного мышления и обычного языка. Разумеется, мышление не копирует мир своей внутренней структурой, но это не означает, что они никак не связаны и что логика - только своеобразная интеллектуальная игра, правила которой точны, но произвольны. Правила игры определяют способы обращения с вещами, правила логики - с символами. Искусственные языки логики имеют предметное, семантическое измерение, которого лишены игры. Нарушающий правила игры вступает в конфликт с соглашениями, нарушающий же правила логики находится в конфликте с истиной и добром, стандарты которых не являются конвенциональными. Логика как инструмент познания связана с действительностью и своеобразно отображает ее. Это проявляется в обусловленности развития логики развитием человеческого познания, в историческом изменении логических форм, в успешности практики, опирающейся на логическое мышление.
   Перемены, происшедшие в логике, низвели ее с заоблачных высот непогрешимой абстракции. Они приблизили логику к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является. Это, несомненно, усложнило современную логику, лишило ее прежней твердости и категоричности. Но этот же процесс насыщения реальным содержанием придал ей новый динамизм и открыл перед нею новые перспективы.
   Если не принимать во внимание давно сформировавшуюся методологию дедуктивных наук, существенный вклад в которую вне-


[171]
ела логика, можно сказать, что Л .н.п. не достигла пока особо впечатляющих успехов. Тем не менее есть определенное продвижение и есть перспектива. Уже сейчас можно сделать вывод о плодотворности крепнущих связей логики с естественными и гуманитарными науками как для методологии этих наук, так и для самой логики.
   ЛОГИКА НЕКЛАССИЧЕСКАЯ
    - совокупность логических теорий, возникших в известной оппозиции к логике классической и являющихся во многом не только критикой последней и попыткой ее усовершенствования, но также ее дополнением и дальнейшим развитием идей, лежащих в основе современной логики.
   Начавшаяся в конце XIX - начале XX в., критика классической логики привела к возникновению целого ряда новых, неклассических разделов математической (символической) логики. В ряде случаев оказалось, что реализованные при этом идеи активно обсуждались еще в античной и средневековой логике.
  Л. Брауэр (1881-1961) подверг сомнению неограниченную применимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства. Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. А. Гейтингом (1888) и не содержащей указанных законов. Одновременно с Л. Брауэром идею неуниверсальности закона исключенного третьего отстаивал рус. логик Н. А. Васильев (1880-1940).
   В 1912 г. К. И. Льюис (1883-1964) обратил внимание на парадоксы импликации, характерные для формального аналога условного высказывания в классической логике - импликации материальной. В дальнейшем он разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации. К настоящему времени предложен целый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой, описание логического следования и условной связи. Наибольшую известность из них получила релевантная логика.
   Классическая логика исходит из предположения, что всякое высказывание является или истинным, или ложным (двузначности принцип). В 20-е годы XX в. Я. Лукасевичем (1878-1956) и Э. Постом (1897-1954) были построены многозначные логики, допускающие более двух истинностных значений.
   На рубеже 20-х годов К. И. Льюисом и Я. Лукасевичем были построены первые модальные логики, рассматривающие понятия необходимости, возможности, случайности и т. п. Тем самым в со-


[172]
временной логике была возрождена тема модальностей, которой активно занимались еще Аристотель и средневековые логики.
   В середине 20-х годов появилась первая работа Э. Малли по деонтической логике, исследующей логические связи нормативных высказываний. К этому же времени относится первая попытка Э. Гуссерля (1859-1938) развить оценок логику.
   В 30-е годы Д. фон Нейманом (1903-1957) и Г. Биркгофом была опубликована первая работа по логике квантовой механики.
   Особенно интенсивно Л. н. продолжала расширяться после второй мировой войны. С. Яськовским (1906-1965) была построена "логика дискуссии", явившаяся прототипом паранепротиворечивой логики, на возможность которой еще раньше указывали Н. А. Васильев и Я. Лукасевич; с работ А. Н. Прайора началось развитие логики времени; С. Халлденом и Г. X. фон Вригтом (р. 1916) были предложены развитые логические теории сравнительных оценок (предпочтений логика); Г. X. фон Вригтом построены логика изменения и логика действия; А. Берксом - логика причинности и т. д.
   Экстенсивный рост Л. н. не завершился и сейчас. В последние десятилетия существенно упрочились ее основы и усовершенствовались ее методы. Это касается прежде всего модальной логики и теории логического следования.
   Л. н. с трудом поддается определению, т. к. ее ветви рассматривают различные типы рассуждений. В целом задача Л. н. - более полно описать те элементы логической формы рассуждений, которые упускаются из виду классической логикой.
   Между неклассическими разделами логики существуют сложные и многообразные связи. Так, интуиционистская и модальная логики могут быть истолкованы как определенного рода многозначные логики (а именно: как бесконечнозначные логики). В рамках модальной логики может быть определено понятие логического следования, в свою очередь в терминах неклассических импликаций - определены модальные понятия и т. д.
   В настоящее время Л. н. является наиболее интенсивно развивающейся частью логики, нашедшей важные приложения в философии, математике, кибернетике, физике, языкознании и т. д.
ЛОГИКА НОРМ, см.: Деонтическая логика.
   ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
    - раздел логики, изучающий свойства высказываний об отношениях между объектами различной природы. Элементарными высказываниями об отношениях являются высказывания вида akb, т. е. объект а находится в отношении k к объекту b, напр.: "а брат b", "а тяжелее b" и т. п. В зависимости от числа объектов, связанных тем или иным отношением, различают


[173]
двухместные, или бинарные, отношения, трехместные, или тернарные, отношения, напр.: "a находится между b и с"; и вообще n-местные, или n-арные, отношения. Особое значение имеют бинарные отношения, посредством которых определяют такие важнейшие понятия логики и математики, как "функция" и "операция". Вводя для бинарных отношений теоретико-множественные операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения, получают "алгебру отношений", роль единицы в которой играют отношения эквивалентности (равенства, тождества). Отношения эквивалентности обладают следующими свойствами:
   а) рефлексивностью: для всякого х верно, что xkx, т. е. каждый объект находится в данном отношении к самому себе;
б) симметричностью: из xky следует ykx;
в) транзитивностью: из xky и ykz следует xkz.
   Опираясь на различные свойства отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. Напр., отношение "быть братом" симметрично, поэтому из высказывания "а брат b" можно сделать вывод о том, что "b брат а". В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необходимым для вывода свойством. Напр., можно ли из высказывания "а теплее b" сделать вывод о том, что "b теплее а"? Нет, нельзя, т. к. отношение "быть теплее" не является симметричным. Но оно является транзитивным, потому из высказываний "а теплее b" и "b теплее с" можно вывести высказывание "а теплее с".
   Значительный вклад в разработку Л.о. внес рус. логик С. И. Поварнин (1870-1952). В современной математической логике отношения выражаются посредством многоместных предикатов, напр.: "Брат (а, b)", "Больше (а, b)" и т. п. Поэтому Л. о. в настоящее время разрабатывается как часть логики предикатов.
   ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, или: Функциональная логика, теория квантификации, кванторная логика,
    - основной раздел современной (математической, символической) логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Л. п. является расширенным вариантом логики высказываний.
   В Л. п. - в дополнение к средствам логики высказываний -вводятся логические операторы" ("для всех") и $ ("для некоторых" или "существует"), называемые кванторами общности и существования соответственно. Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный пере-


[174]
чень индивидных переменных: х, у, z, ..., х1, у1, zl, ..., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Q1, Л1, ..., представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, или имена собственные.
   Запись ("х)Р (х) означает "Всякий х обладает свойством Р"; ($х)Р(х) - "Некоторые х обладают свойством Р"; ($x)Q(xy) - "Существует х, находящийся в отношении Q с у" и т. п. Индивидная переменная, входящая в область действия квантора по этой переменной, называется связанной; переменная, не являющаяся связанной, называется свободной. Так, во всех трех приведенных формулах переменная х связана, в последней формуле переменная у свободна. Подлинной переменной является только свободная переменная: вместо нее можно подставить одно из ее значений и получить осмысленное выражение. Связанные переменные называются фиктивными.
   Формула Л. п. называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В Л. п., в отличие от логики высказываний, нет эффективного процесса, позволяющего для произвольно взятой формулы решить, является она общезначимой или нет.
   Для Л. п. доказан ряд важных теорем, характеризующих ее основные свойства (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешимость теории).
ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ, см.: Традиционная логика.
   ЛОГИКА ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ (от греч. episteme - знание)
    - раздел модальной логики, исследующий логические связи высказываний, включающих такие понятия, как "полагает" ("убежден"), "сомневается", "отвергает", "знает", "доказуемо", "неразрешимо", "опровержимо" т. п.
   Знание отличается от убеждения, или веры: знание всегда истинно, убеждение же может быть как истинным, так и ложным. Этому различию соответствует различие между двумя вариантами Л. э.: логикой знания и логикой убеждений. Каждая из этих "логик" слагается из логических систем, различающихся не только законами, но и исходными понятиями. Иногда к Л. э. относят лишь логику убеждений.
   Одна из первых логик знания была сформулирована австрийским математиком и логиком К. Гёделем (1906-1978). Исходным

[175]
термином ее является "доказуемо"; в числе ее законов положения:
Другим примером логики знания может служить логика истины, устанавливающая такие законы, как:
   В логике убеждений в качестве исходного обычно принимается понятие "полагает" ("убежден", "верит"), через него определяются понятия "сомневается" и "отвергает":