[216]
   Зависимая система аксиом содержит лишние аксиомы и в этом смысле является менее совершенной, чем независимая.
   Требование Н. распространяется и на правила вывода аксиоматической теории. Исходное правило вывода независимо, если оно не может быть получено в качестве производного правила в системе, из которой оно исключено. Можно также сказать, что аксиома или правило вывода независимы, если существует теорема, которая не может быть доказана без этой аксиомы или этого правила вывода.
   Н. имеет по преимуществу эстетическую и дидактическую ценность. Исследование Н. способствует, как правило, лучшему пониманию строения изучаемой теории и ее возможностей.
   Исторически первым доказательством Н. было доказательство невыводимости пятого постулата Евклида о параллельных из остальных его постулатов.
   Требование Н. может быть распространено не только на аксиомы и правила вывода аксиоматических теорий, но и на исходные их термины (понятия). Термин независим, если он неопределим через остальные исходные термины. Теория с неизбыточным исходным словарем не содержит лишних понятий и является в этом отношении более совершенной, чем теория с зависимыми понятиями.
   Зависимость некоторой аксиомы от остальных показывается путем вывода ее из них. Н. аксиомы можно доказать, найдя свойство, присущее всем другим аксиомам и не присущее рассматриваемой.
НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, см.: Логика неклассическая.
   НЕОБХОДИМОСТЬ (логическая)
    - одна из модальных характеристик высказывания (наряду с "возможностью", "случайностью" и "независимостью"); необходимым является высказывание, отрицание которого логически невозможно.
   Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта или на чисто логических основаниях. Н. логическая является, таким образом, более сильным видом истины, чем случайная, или фактическая, истинность. Напр., высказывание "Снег бел" фактически истинно, но для подтверждения его истинности необходимо эмпирическое наблюдение. Высказывания же "Снег есть снег", "Белое - это белое" необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов.
   Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о Н., можно выделить три ее вида: логическую Н.,

[217]
физическую Н., называемую также онтологической или каузальной, нормативную Н., именуемую также моральной или оценочной. Н. логическая связана с логическим законом: логически необходимо то, что вытекает из законов логики (отрицание чего несовместимо с законами логики). Физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Нормативно необходимым (т. е. обязательным) является то, отрицание чего противоречит законам или нормам, установленным в обществе. Н. логическая уже физической Н.: все логически необходимое является также необходимым физически, но не наоборот. Иначе говоря: законы логики есть и законы природы, но не наоборот. Если, напр., планета вращается, то она вращается, - это следствие закона логики и вместе с тем необходимая истина физики. Но то, что у планет эллиптические орбиты, - закон физики, но не логики: логически возможно, чтобы орбиты планет были круговыми. Физическая Н. не сводится к логической, а нормативная - к физической. Нельзя, скажем, принципы механики свести к законам логики, а принципы этики - к законам биологии.
Н. логическая изучается модальной логикой в связи с понятиями возможности, случайности и др. В число законов, устанавливаемых этой ветвью логики, входят, в частности, утверждения: о из Н. высказывания вытекает его истинность (но не наоборот); о логические следствия необходимого также необходимы; >> высказывание и его отрицание не могут быть вместе необходимыми, и т. п.
   Н. логическая может быть определена через возможность логическую: высказывание необходимо, когда его отрицание невозможно. Напр.: "Необходимо, что снег идет или не идет" означает "Невозможно, что снег идет и не идет". В свою очередь возможность определима через Н.: высказывание возможно, когда его отрицание не является необходимым. Скажем, "Возможно, что кадмий металл" означает "Неверно, что необходимо, что кадмий не является металлом". Взаимная определимость Н. и возможности дает право каждое рассуждение о Н. перефразировать в рассуждение о возможности, и наоборот. При построении модальной логики в качестве исходного обычно принимается одно из понятий - "необходимо" или "возможно", второе определяется через него.
   Логическая невозможность высказывания определяется как Н. логическая его отрицания. Логическая случайность высказывания означает, что ни оно само, ни его отрицание не являются логически необходимыми.
   НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ (в логике и математике)
    - условия, устанавливающие зависимость истинности


[218]
к.-л. утверждения А от наличия условий, фиксируемых в другом утверждении Я Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным. Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным. Условия могут быть необходимыми, но недостаточными, достаточными, но не необходимыми, необходимыми и достаточными.
  Так, делимость числа п на 2 есть необходимое, но недостаточное условие его делимости на 6 (т. е. необходимое, но недостаточное условие истинности утверждения: "Число п делится на 6"). Это условие является необходимым потому, что без его наличия число п не будет делиться на 6. Это условие не является достаточным потому, что при его наличии число п не обязательно будет делиться на 6. Наоборот, делимость числа п на 6 будет достаточным, но не необходимым условием его делимости на 2, потому что при его наличии число п всегда будет делиться на 2. Это условие не является необходимым, потому что, если число не делится на 6, оно не обязательно не делится на 2. Условие же делимости числа и на 2 и на 3 есть необходимое и достаточное условие его делимости на 6: если не соблюдено условие, то утверждение "Число n делится на 6" будет ложным (условие является необходимым); если же условие соблюдено, то утверждение "Число п делится на 6" будет истинным (условие является достаточным).
   НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ (в традиционной логике)
    - умозаключение из одной посылки. К числу Н. у. относятся обращение суждений, превращение суждений, противопоставление предикату, некоторые умозаключения по логическому квадрату, напр. от истинности общих суждений (А и Е) к истинности соответствующих частных суждений (I и О) и др.
   Иногда Н. у. ограничиваются умозаключениями из простых атрибутивных суждений, иногда же в их число включаются и умозаключения из суждений с отношениями, и умозаключения из сложных суждений (см.: Суждение). В последнем случае к числу Н.у. относятся и такие умозаключения из одной посылки, как, напр., умозаключения из суждений вида xRy, где R - симметричное отношение. Так, из посылки а = b можно получить заключение b = а; к их числу можно отнести и контрапозицию условного суждения (см.: Контрапозиции законы). Так, из суждения "Если число п делится на 6, то оно делится и на 2" можно сделать заключение "Если число п не делится на 2, то оно не делится на 6".
НЕПРАВИЛЬНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, см.: Умозаключение.

[219]
   НЕПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
    - определение, с помощью которого некоторые объекты вводятся через множества, включающие эти объекты в качестве своих элементов. Напр.: "Верхней границей множества действительных чисел называется самое большое число этого множества, т. е. число, которое больше любого числа этого множества". В этом определении Dfd ("верхняя граница множества действительных чисел"), т. е. определяемое, включается в множество действительных чисел Dfn как самое большое число этого множества - определяющее - и тем самым участвует в формировании этого множества. Такие определения должны рассматриваться как определения с "порочным кругом": Dfd определяется в них через Dfn, куда включается Dfd. Тем не менее они используются в науке. В целях "оправдания" они особым образом интерпретируются. Одним из таких "оправданий" является предложенная Б. Расселом аксиома сводимости, согласно которой для Н. о. должны существовать иные способы задания множеств, в которые определяемый объект включается в качестве элемента независимо от его определения. Так, согласно Б. Расселу, приведенное выше определение является правильным, поскольку множество действительных чисел независимо от определения может быть экземплифицировано множеством точек на отрезке прямой (О, 1).
   Если мы имеем дело с определениями, где множество, через которое определяется Dfd не формируется данным определением, а существует независимо от него, и если задача определения состоит в том, чтобы выделить некоторый элемент из нашего множества и при этом специфицировать его, - никакого порочного круга не возникает. Так, определяя Марс как планету Солнечной системы, четвертую по порядку от Солнца, мы не совершаем порочного круга, поскольку множество планет Солнечной системы существует независимо от нашего определения и мы лишь выделяем из этого множества планету Марс. Такие определения рассматриваются обычно как определения через род и видовое отличие (см.: Определение классическое).
   НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ
    - свойство предложений некоторой теории (в случае аксиоматической теории - системы ее аксиом), заключающееся в невыводимости из них противоречия. Если отрицание какого-то предложения может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость теории означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто.
   Требование Н. является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая теория завело-

[220]
мо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается.
   Во многих теориях имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится "доказуемым" все что угодно и понятие доказательства теряет смысл. Применительно к таким теориям требование Н. равносильно условию, что в теории имеется хотя бы одно недоказуемое высказывание. Н. одной теории может быть доказана через другую теорию, Н. которой гарантирована. Однако такое доказательство обладает лишь относительной убедительностью. Для простых теорий, таких, как исчисление высказываний, доказательство Н. не представляет труда. В более сложных теориях оно обычно сводится к интерпретации в терминах теории множеств. Для сложных теорий, напр. арифметики и самой теории множеств, отыскание подходящей теории, которая сама была бы непротиворечивой и вместе с тем могла бы использоваться для доказательства их Н., представляется задачей скорее всего безнадежной. Это указывает на нетривиальность проблемы Н., ее трудность и глубину.
   В реальных, достаточно сложных научных теориях, в том числе в теориях самой логики, могут встречаться противоречия. В связи с этим в последние десятилетия большое внимание привлекают логические системы, в которых из противоречия невыводимо произвольное высказывание. Обнаружение противоречия в опирающейся на такую систему теории не означает, что в ней становится доказуемым все что угодно (см.: Паранепротиворечивая логика).
   НЕПРОТИВОРЕЧИЯ ЗАКОН
    - логический закон, согласно которому высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Закон говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т. е. высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. Отсюда иное название закона - закон противоречия, подчеркивающее, что закон отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости.
   Противоречат друг другу, напр., высказывания: "Фобос - спутник Марса" и "Фобос не является спутником Марса", "Кентавры существуют" и "Кентавры не существуют" и т. п. Большинство неверных толкований Н. з. и большая часть попыток оспорить его приложимость если не во всех, то хотя бы в отдельных областях связаны с неправильным пониманием логического отрицания, а значит, и логического противоречия.
   Нет, в частности, противоречия в утверждении "Листва опала и не опала", подразумевающем, что некоторые деревья уже сбро-

[221]
сили листву, а другие нет, в утверждении "Человек и ребенок, и старик", выражающем идею, что один и тот же человек в начале своей жизни - ребенок, а в конце ее - старик, и т. п.
   Введя понятия истины и лжи, Н. з. можно сформулировать так: никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным. Истина и ложь - две несовместимые характеристики высказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Закон отрицает, что одно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не соответствовать ему.
   Иногда Н. з. формулируют таким образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным. Эта формулировка подчеркивает опасность, связанную с противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свои рассуждения или в свою теорию заведомо ложное положение, что, разумеется, недопустимо.
   С использованием символики логической (р - некоторое высказывание; & - конъюнкция, "и"; ~ - отрицание, "неверно, что") Н. з. выражается формулой:
~(р&~р),
неверно, что р и не-р. Напр.: "Неверно, что глина металл и что она не металл", "Неверно, что птицы летают и что они не летают" и т. п.
   Логические противоречия - противоречия непоследовательного, путаного рассуждения - принципиально отличны от противоречий диалектических. Н. з. запрещает первые, но он не распространяется на вторые. О диалектике развития и борьбе противоположных сторон, определяющей развитие, нужно рассуждать последовательно и непротиворечиво, как и обо всем другом.
НЕСОБСТВЕННЫЕ СИМВОЛЫ, см.: Символы собственные и несобственные.
   НЕТОЧНОСТЬ - характеристика употребления термина (понятия), обозначающего недостаточно определенный или нечетко очерченный класс объектов. Употребление понятия, его интерпретация предполагает знание его смысла, или содержания, а также знание его денотации, т. е. класса объектов, к которым оно приложимо. Понятие, содержание которого является недостаточно определенным или вообще расплывчатым, называется неясным (см.: Неясность). Понятие, обозначающее расплывчатый, плохо специфицированный класс объектов, именуется неточным. Неточным понятиям противопоставляются точные понятия, относящиеся к четко определенным совокупностям объектов (см.: Точность).


[222]
   Примером неточного может служить понятие "молодой человек". В двадцать лет человек определенно молод, в сорок его уже нельзя назвать молодым. Где-то между этими возрастными границами лежит довольно широкая область неопределенности, когда нельзя с уверенностью ни назвать человека молодым, ни сказать, что он уже немолодой. Граница класса людей, к которым приложимо понятие "молодой человек", лишена четкости.
   Неточными являются эмпирические характеристики, подобные "высокий", "большой", "отдаленный" и т. д. Неточны понятия "дом", "куча" и т. п., т. к. существуют ситуации, когда мы не можем с уверенностью утверждать, употребимо рассматриваемое понятие или нет. Причем сомнения в приложимости понятия к конкретным вещам не удается устранить ни путем привлечения новых фактов, ни дополнительным анализом самого понятия. Если, напр., происходит постепенная разборка дома, трудно сказать, в какой именно момент оставшееся можно назвать не домом, а развалинами.
   Употребление неточных понятий способно в определенных ситуациях вести к парадоксальным заключениям, о чем говорят открытые еще в древности парадоксы "Куча", "Лысый" и т. п.
   Обращение с неточными понятиями требует, таким образом, известной осторожности.
   Н. имеет степени, или градации, и более точные понятия во многих случаях предпочтительнее неточных. Вполне оправдано поэтому стремление к уточнению используемых понятий. Но оно должно тем не менее иметь свои пределы. Даже в науке значительная часть понятий является неточной. И это связано не столько с субъективными и случайными ошибками отдельных ученых, сколько с самой природой научного познания.
   Долгое время в логике и математике не обращалось внимание на трудности, связанные с неточными и в особенности с размытыми понятиями. От понятий требовалась точность, а все нечеткое, размытое объявлялось недостойным интереса.
   В последние десятилетия эта ригористическая установка потеряла привлекательность. Построены логические теории, учитывающие своеобразие рассуждений с неточными понятиями. Успешно развивается математическая теория т. наз. размытых множеств, имеющая дело с нечетко очерченными совокупностями объектов. Изучение проблем Н. - одно из условий приближения логики к практике обычного мышления, имеющего дело по преимуществу с неточными понятиями.
   НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО
    - множество с нечеткими границами, когда переход от принадлежности элементов множеству к непри-

[223]
надлежности их множеству происходит постепенно, нерезко. В классической логике элемент х из соответствующей предметной области принадлежит или не принадлежит некоторому множеству М. Характеристическая функция принадлежности элемента множеству принимает лишь два значения: 1, когда х действительно принадлежит М, и 0, когда х не принадлежит множеству М. Напр., к.-л. геометрическая фигура либо принадлежит множеству треугольников, либо не принадлежит ему. С Н. м. дело обстоит иначе. Здесь элемент х принадлежит множеству A (где A - Н. м.) лишь с известной степенью. Так, различные элементы х Н. м. "высокие люди" могут принадлежать ему лишь с известной степенью, т. к. рост высоких людей может варьироваться. Среди них мы можем выделить людей, которые принадлежат множеству высоких людей со степенью принадлежности 1 (т. е. безусловно высоких людей, которые могут рассматриваться как некоторые образцы, классические случаи). С другой стороны, некоторые люди не принадлежат множеству высоких людей, их степень принадлежности множеству высоких людей равна 0. Между 0 и 1 будут располагаться группы людей, которые принадлежат к высоким людям лишь с известной степенью (0,2; 0,4; 0,5 и т. д.). Эти группы можно классифицировать по степени их принадлежности данному множеству. В настоящее время разрабатываются различные методы установления, вычисления степеней принадлежности. Н. м. можно превратить в четкое на основе определения, включающего некоторый момент условности, напр.: "Высокими людьми мы будем называть людей, имеющих рост 180 см и выше". Тогда всех людей можно разделить на два исключающих друг друга множества: множество невысоких людей и множество высоких людей. Однако такого рода превращения Н. м. в четкие обычно связаны со значительным огрублением изучаемой действительности: с отвлечением от различий внутри Н. м., которые могут оказаться существенными для познания и практики. Понятие Н. м. родственно понятию о реальном типе, где элементы объема этого понятия образуют некоторый упорядоченный ряд по степени принадлежности Н. м., в котором одни подмножества Н. м. связаны с другими недостаточно определенными "текучими" переходами, где границы множества недостаточно четки. К числу понятий о реальных типах относятся: "справедливая война", "храбрый человек", "управляемая система", "реалистическое произведение" и т. п. Множество элементов, относящихся к Н. м. с весьма высокой степенью принадлежности, лежит в основе образования понятия об идеальном типе. К числу понятий об идеаль-


[224]
ном типе относятся понятия об абсолютно черном теле, идеальном газе и др.
   НЕЯСНОСТЬ
    - характеристика употребления термина (понятия) с недостаточно определенным, расплывчатым смыслом. Точное употребление и понимание понятия предполагает знание его смысла, или содержания, и отчетливое представление о классе тех объектов, к которым оно относится. Понятие, отсылающее к размытому, нечетко представляемому множеству вещей или к множеству, граница которого неопределенна, является неточным. Понятие с неясным смыслом, размытым и неопределенным содержанием называется содержательно неясным или просто неясным.
   Напр., понятие "живое существо" является относительно точным: обычно мы уверенно распознаем, является ли встретившийся объект таким существом или нет. Вместе с тем содержание этого понятия не вполне ясно. Существуют десятки определений жизни, и вряд ли какое-то из них является окончательным.
   Еще одним примером сравнительно точного, но содержательно неясного понятия может служить понятие "токсическое вещество". Пятьдесят лет назад в справочниках упоминалось около сотни токсинов, сейчас их число приближается уже к ста тысячам. Такой бурный рост обусловлен не столько появлением в ходе технического прогресса новых веществ, неблагоприятно воздействующих на живое, сколько Н. и постоянным изменением представлений о том, какие именно вещества должны относиться к токсинам.
   Неотчетливо может мыслиться не все содержание понятия, а только какая-то его часть. Таково, напр., понятие "феодализм". Основной его смысл достаточно отчетлив, но полной ясности нет, о чем свидетельствуют споры об особом, т. наз. "азиатском способе производства", существовавшем якобы наряду с "классическим" феодализмом.
   Неясным понятиям противопоставляются ясные понятия, имеющие хорошо определенное содержание (см.: Ясность).
   Многие понятия обычного языка являются одновременно и неясными, и неточными. Они как бы вдвойне расплывчаты: их содержание лишено определенности, к тому же они отсылают к нечетко очерченному множеству объектов. Таково, напр., понятие "игра". Его содержание настолько неопределенно, что трудно сказать, каждая ли игра имеет правила, во всякой ли игре есть выигравшие и проигравшие и т. п. Вместе с тем это понятие охватывает очень широкую и разнородную область, границы которой очень неопределенны. Если брать только игры человека, то игрой будут

[225]
и футбол, и шахматы, и действия актера на сцене, и детская беготня, и выполнение стандартных обязанностей, предполагаемых такими социальными ролями, как роль брата, роль отца и т. п. Во многих случаях трудно решить, делается что-то всерьез или же это только игра.
   НОМОЛОГИЧЕСКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ (от греч. nomos - закон, logos - учение, понятие)
    - высказывание, выражающее закон природы. В логике научного познания проблема Н. в. связана с попытками сформулировать формально-логические критерии, позволяющие отличать Н.в. от случайно истинных общих высказываний.
   Законы природы в логике принято выражать в виде общих условных высказываний типа "х(А(х)->В(х)). Напр., закон "Все металлы электропроводны" записывается так: "Для всякого х, если х - металл (А(х)), то х - электропроводен (В(х)), т. е. "х(A(Х)-> В(х))". Однако многие истинные высказывания, не являющиеся законами природы, также выражаются в виде общих условных высказываний. Напр., высказывание "Все мои друзья блондины" получит вид: "Для всякого х, если х - мой друг, то х - блондин". Поэтому возникает вопрос: как отличить общие высказывания, выражающие законы, от общих высказываний, которые хотя и истинны, но закона не выражают? Многолетние усилия ответить на этот вопрос и задать некоторые формальные особенности Н. в., отличающие их от случайно истинных обобщений, не привели к успеху. Тем не менее некоторые черты Н. в. были установлены. Считается, что высказывание, выражающее закон природы, должно быть: общим, универсальным (т.е. область, о которой оно говорит, не должна быть ограничена), нетривиальным (т. е. не должно иметь характера логической тавтологии) и, наконец, между его антецедентом и консеквентом должна существовать смысловая, содержательная связь.
НОРМА, см.: Нормативное высказывание.
НОРМАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, см.: Противоречие в явном определении.
НОРМАТИВНАЯ ЛОГИКА, см.: Деонтическая логика.
НОРМАТИВНАЯ МОДАЛЬНОСТЬ, см.: Деонтическая модальность.
   НОРМАТИВНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, или: Деонтическое высказывание,
    - высказывание, устанавливающее какую-то норму поведения. Языковые формулировки Н. в. многообразны и разнородны. Иногда оно имеет форму повелительного (императивного) предложения. Чаще Н. в. представляется повествователь-


[226]
ным предложением с особыми нормативными словами: "обязательно", "разрешено", "запрещено", "(нормативно) безразлично". Вместо указанных могут употребляться также другие слова и обороты: "должен", "может", "не должен", "позволено", "рекомендуется", "возбраняется" и т. п. В языковом представлении Н. в. решающую роль играет контекст, в котором выражается норма. Можно говорить об обычных, или стандартных, формулировках Н. в., но вряд ли можно сказать, что существует грамматическое предложение, в принципе не способное выражать такое высказывание. Попытка определить Н. в. на чисто грамматических основаниях не приводит к успеху.